Comunicaciones, corrección de errores

Antes de escribir el tercer artículo sobre el modo JT65 quisiera hacer algunos comentarios teóricos sobre teoría de comunicaciones que tiene que ver con correcciones de error ya que el modo JT65 obtiene su rendimiento porque aplica soluciones de corrección de error de acuerdo a las últimas técnicas aplicadas.

Transcribo la definición de “Comunicaciones “ que está en Wikipedia:

La comunicación (del latín communicatĭo, -ōnis1​) es la actividad consciente de intercambiar información entre dos o más participantes con el fin de transmitir o recibir significados a través de un sistema compartido de signos y normas semánticas. Los pasos básicos de la comunicación son la formación de una intención de comunicar, la composición del mensaje, la codificación del mensaje, la transmisión de la señal, la recepción de la señal, la decodificación del mensaje y finalmente, la interpretación del mensaje por parte de un receptor.

Si la distancia entre los dos o más participantes es grande entonces hablamos de Telecomunicaciones.

Las comunicaciones consiste en mensajes que se envía a la distancia utilizando un medio de transporte. Este puede ser el habla o conversación, señales de humo, palomas mensajeras, correo, etc.  En telecomunicaciones se usa las ondas electromagnéticas para llevar los mensajes por ese motivo a la frecuencia que lleva los mensajes se le conoce con el nombre de “Onda Portadora” y en ingles se dice “Carrier” que tiene el mismo significado literal.

Fig 1: La palabra hablada es una forma de comunicaciones. Los mensajes son las frases compuestas de palabras codificadas en sonidos.

Cuando las comunicaciones se hace a distancia el medio portador por lo general se deteriora llegando a afectar la integridad de los mensajes portados. En el caso de radiocomunicaciones decimos que la intensidad de la señal se debilita a la distancia y que tenemos una “señal débil” (en inglés Weak signal).  Cuando la señal es débil entonces el receptor tiene dificultades de distinguir algunos signos contenidos en el mensaje.

También en el caso de radio en la zona de recepción no solo llegan las señales que nos interesan si no otras ondas electromagnéticas generadas  por diferentes fuentes.  Todas las señales que recibimos diferente al mensaje deseado lo llamamos ruido. Como la señal deseada  y el ruido son magnitudes físicas que se pueden medir entonces en tecnología de radio se habla de la relación señal a ruido que es el resultado de dividir la intensidad de la señal por la intensidad del ruido.  Si la señal es mayor que el ruido el resultado será mayor a cero en caso contrario menos. En la práctica esta relación no se mide o expresa en la división sino en función logarítmica y se usa la unidad decibel.  Si la medida en decibel es negativa significa que el intensidad de ruido es mayor que la señal.

Cuando en el ambiente del receptor se combinan señales débiles y mucho ruido, la recepción de mensajes se complica y algunos elementos del mensaje se pierden, entonces decimos que tenemos error en la recepción. Uno que otro error puede ser tolerable pero si el número de errores es importante puede volver nula la recepción o ininteligible. El número de datos perdidos con relación al total de datos transmitidos nos da una magnitud de la frecuencia de errores y se convierte en el factor para calificar la calidad de la transmisión.

Los errores son entonces un problema al cual hay que buscarle soluciones que consiste en encontrar mecanismos para “corregir errores”.  Si se presenta un error pero lo corregimos es como si el error no hubiera existido. Sin darnos cuenta corrección de errores estamos haciendo desde que el hombre empezó a comunicarse por ejemplo con el habla.

Miremos este dialogo:

La persona de la derecha emite un mensaje “Mi teléfono es el 5387”.

La persona de la izquierda no escucho bien el mensaje especialmente en la parte que tiene números y que necesita ser recibido exacto, es decir sin error.  La persona de la derecha dice entonces: “Me repite el número” informando al de la izquierda que ha habido error en la recepción y solicitando repetición del mensaje.

El de la izquierda procede a repetir el mensaje de números y el de la derecha le dice “Ok” como confirmación que el mensaje está completamente recibido, sin error.

Este modo de corrección de errores se conoce con el nombre de “Corrección de Errores hacia Atrás” porque el error es detectado en la recepción y envía de retorno (hacia atrás) una indicación de “recibido con error” lo que provoca que el emisor del mensaje reenvié el mensaje con el deseo que en la segunda recepción se evite el error.  El mecanismo de reenvió puede repetirse varias veces si fuera necesario hasta que el receptor considere que ha recibido el mensaje sin error.

En el caso anterior la comunicación es de doble vía (dúplex) ya que los dos participantes pueden emitir y recibir pero hay casos de comunicaciones en una sola vía el que transmite no puede recibir y el que recibe no puede transmitir.  Este es el caso de una emisora comercial de radio, una estación de radioaficionados llamando CQ (aún no sabemos quién va a ser la estación corresponsal), una sonda espacial enviando las fotos que tomo a Júpiter, etc.

Los radioaficionados, quizás sin darnos cuenta, también tenemos una técnica de correcion de error:

Cuando transmitimos por radio debemos enviar el indicativo de llamada que nos distingue como radioaficionados debidamente licenciados por el gobierno, en este ejemplo “HK3EU” consta de cinco caracteres. Esta información debe ser recibida precisa y sin error .

Si la transmitimos por voz (fonia) deberíamos decir simplemente “H” “K” “3” “E” “U” pero en la práctica se transmite como “Hotel Kilometro tres España Uruguay” o equivalente.  La razón de transmitir así es que a pesar que el mensaje en muchísimo más largo al recibirse se puede garantizar que será recibido más exacto.

Observe que el mensaje correcto es únicamente cinco caracteres “HK3EU” pero es enviado como 5 palabras que contiene información redúndate y que va a ayudar al receptor a encontrar el carácter correcto.

Por ejemplo el receptor escucha la última palabra  como “*RUG*AY”  con dos errores en la recepción del primero y quinto carácter, sin embargo la mente humana por un proceso de selección asocia que la única palabra posible debe ser “URUGUAY” y anota como carácter recibido “U” a pesar que hubo dos errores de recepción.

Este método de enviar mensajes con información redundante para que ayuden a corregir errores en la recepción se denomina “Corrección de Errores hacia Adelante”  y en la literatura en ingles seria “Forward Correction Error” y se abrevia como FCR.

En teoría mientras más información redundante enviemos mejor posibilidad tenemos de corregir errores adelante.

En el ejemplo anterior hemos visto una forma de FCR basado en la capacidad deductiva de la mente humana. Ahora bien en las transmisiones modernas la codificación de los mensajes la realizan máquinas y la información tiene forma digital, entonces el tema de cómo crear código redundante para incluir FCR es un tema de estudio para logra un código eficiente en cuanto a producir código redúndate lo menor posible que garantice la mayor capacidad de corrección.

Lo que se hace en la práctica en someter a la información a transmitir a una serie de procesos matemáticos  predefinidos para crear otro código ampliado con información redúndate  y que será trasmitida. En el lado receptos someten al código recibido a unos procesos matemáticos que realizan operaciones inversas a las usadas en el lado transmisor y así recuperar la información originalmente enviada.

Las operaciones matemáticas a realizar se formulan en algo que se llama “Algoritmo” que son implementados en el software de un computador.  Como la información a transmitir ya tiene forma binaria, resulta muy fácil entregársela a un computador para que realice la operación de agregar el código adicional necesario para tener un método de FCR.

En la actualidad hay varios algoritmos para tener FCE y todos los días aparecen más, puede ser temas de otro artículos. Por ahora este artículo es con el propósito de comentar que existe el FCR (Fordwar Correcion Error) es decir, corrección de error hacia Adelante que permite hacer transmisiones más precisas corrigiendo errores .

El tema es que el modo de transmisión JT65 usado por los radioaficionados recurre a técnicas de FCR para lograr hacer transmisiones casi libre de error en ambientes de señales débiles y mucho ruido, en los cuales otros modos de transmisión fracasan por el elevado número de errores detectados en la recepción.

 

 

 

 

 

 

 

Antes de escribir el tercer artículo sobre el modo JT65 quisiera hacer algunos comentarios teóricos sobre teoría de comunicaciones que tiene que ver con correcciones de error ya que el modo JT65 obtiene su rendimiento porque aplica soluciones de corrección de error de acuerdo a las últimas técnicas aplicadas.

Transcribo la definición de “Comunicaciones “ que está en Wikipedia:

La comunicación (del latín communicatĭo, -ōnis1​) es la actividad consciente de intercambiar información entre dos o más participantes con el fin de transmitir o recibir significados a través de un sistema compartido de signos y normas semánticas. Los pasos básicos de la comunicación son la formación de una intención de comunicar, la composición del mensaje, la codificación del mensaje, la transmisión de la señal, la recepción de la señal, la decodificación del mensaje y finalmente, la interpretación del mensaje por parte de un receptor.

Si la distancia entre los dos o más participantes es grande entonces hablamos de Telecomunicaciones.

Las comunicaciones consiste en mensajes que se envía a la distancia utilizando un medio de transporte. Este puede ser el habla o conversación, señales de humo, palomas mensajeras, correo, etc.  En telecomunicaciones se usa las ondas electromagnéticas para llevar los mensajes por ese motivo a la frecuencia que lleva los mensajes se le conoce con el nombre de “Onda Portadora” y en ingles se dice “Carrier” que tiene el mismo significado literal.

Fig 1: La palabra hablada es una forma de comunicaciones. Los mensajes son las frases compuestas de palabras codificadas en sonidos.

Cuando las comunicaciones se hace a distancia el medio portador por lo general se deteriora llegando a afectar la integridad de los mensajes portados. En el caso de radiocomunicaciones decimos que la intensidad de la señal se debilita a la distancia y que tenemos una “señal débil” (en inglés Weak signal).  Cuando la señal es débil entonces el receptor tiene dificultades de distinguir algunos signos contenidos en el mensaje.

También en el caso de radio en la zona de recepción no solo llegan las señales que nos interesan si no otras ondas electromagnéticas generadas  por diferentes fuentes.  Todas las señales que recibimos diferente al mensaje deseado lo llamamos ruido. Como la señal deseada  y el ruido son magnitudes físicas que se pueden medir entonces en tecnología de radio se habla de la relación señal a ruido que es el resultado de dividir la intensidad de la señal por la intensidad del ruido.  Si la señal es mayor que el ruido el resultado será mayor a cero en caso contrario menos. En la práctica esta relación no se mide o expresa en la división sino en función logarítmica y se usa la unidad decibel.  Si la medida en decibel es negativa significa que el intensidad de ruido es mayor que la señal.

Cuando en el ambiente del receptor se combinan señales débiles y mucho ruido, la recepción de mensajes se complica y algunos elementos del mensaje se pierden, entonces decimos que tenemos error en la recepción. Uno que otro error puede ser tolerable pero si el número de errores es importante puede volver nula la recepción o ininteligible. El número de datos perdidos con relación al total de datos transmitidos nos da una magnitud de la frecuencia de errores y se convierte en el factor para calificar la calidad de la transmisión.

Los errores son entonces un problema al cual hay que buscarle soluciones que consiste en encontrar mecanismos para “corregir errores”.  Si se presenta un error pero lo corregimos es como si el error no hubiera existido. Sin darnos cuenta corrección de errores estamos haciendo desde que el hombre empezó a comunicarse por ejemplo con el habla.

Miremos este dialogo:

La persona de la derecha emite un mensaje “Mi teléfono es el 5387”.

La persona de la izquierda no escucho bien el mensaje especialmente en la parte que tiene números y que necesita ser recibido exacto, es decir sin error.  La persona de la derecha dice entonces: “Me repite el número” informando al de la izquierda que ha habido error en la recepción y solicitando repetición del mensaje.

El de la izquierda procede a repetir el mensaje de números y el de la derecha le dice “Ok” como confirmación que el mensaje está completamente recibido, sin error.

Este modo de corrección de errores se conoce con el nombre de “Corrección de Errores hacia Atrás” porque el error es detectado en la recepción y envía de retorno (hacia atrás) una indicación de “recibido con error” lo que provoca que el emisor del mensaje reenvié el mensaje con el deseo que en la segunda recepción se evite el error.  El mecanismo de reenvió puede repetirse varias veces si fuera necesario hasta que el receptor considere que ha recibido el mensaje sin error.

En el caso anterior la comunicación es de doble vía (dúplex) ya que los dos participantes pueden emitir y recibir pero hay casos de comunicaciones en una sola vía el que transmite no puede recibir y el que recibe no puede transmitir.  Este es el caso de una emisora comercial de radio, una estación de radioaficionados llamando CQ (aún no sabemos quién va a ser la estación corresponsal), una sonda espacial enviando las fotos que tomo a Júpiter, etc.

Los radioaficionados, quizás sin darnos cuenta, también tenemos una técnica de correcion de error:

Cuando transmitimos por radio debemos enviar el indicativo de llamada que nos distingue como radioaficionados debidamente licenciados por el gobierno, en este ejemplo “HK3EU” consta de cinco caracteres. Esta información debe ser recibida precisa y sin error .

Si la transmitimos por voz (fonia) deberíamos decir simplemente “H” “K” “3” “E” “U” pero en la práctica se transmite como “Hotel Kilometro tres España Uruguay” o equivalente.  La razón de transmitir así es que a pesar que el mensaje en muchísimo más largo al recibirse se puede garantizar que será recibido más exacto.

Observe que el mensaje correcto es únicamente cinco caracteres “HK3EU” pero es enviado como 5 palabras que contiene información redúndate y que va a ayudar al receptor a encontrar el carácter correcto.

Por ejemplo el receptor escucha la última palabra  como “*RUG*AY”  con dos errores en la recepción del primero y quinto carácter, sin embargo la mente humana por un proceso de selección asocia que la única palabra posible debe ser “URUGUAY” y anota como carácter recibido “U” a pesar que hubo dos errores de recepción.

Este método de enviar mensajes con información redundante para que ayuden a corregir errores en la recepción se denomina “Corrección de Errores hacia Adelante”  y en la literatura en ingles seria “Forward Correction Error” y se abrevia como FCR.

En teoría mientras más información redundante enviemos mejor posibilidad tenemos de corregir errores adelante.

En el ejemplo anterior hemos visto una forma de FCR basado en la capacidad deductiva de la mente humana. Ahora bien en las transmisiones modernas la codificación de los mensajes la realizan máquinas y la información tiene forma digital, entonces el tema de cómo crear código redundante para incluir FCR es un tema de estudio para logra un código eficiente en cuanto a producir código redúndate lo menor posible que garantice la mayor capacidad de corrección.

Lo que se hace en la práctica en someter a la información a transmitir a una serie de procesos matemáticos  predefinidos para crear otro código ampliado con información redúndate  y que será trasmitida. En el lado receptos someten al código recibido a unos procesos matemáticos que realizan operaciones inversas a las usadas en el lado transmisor y así recuperar la información originalmente enviada.

Las operaciones matemáticas a realizar se formulan en algo que se llama “Algoritmo” que son implementados en el software de un computador.  Como la información a transmitir ya tiene forma binaria, resulta muy fácil entregársela a un computador para que realice la operación de agregar el código adicional necesario para tener un método de FCR.

En la actualidad hay varios algoritmos para tener FCE y todos los días aparecen más, puede ser temas de otro artículos. Por ahora este artículo es con el propósito de comentar que existe el FCR (Fordwar Correcion Error) es decir, corrección de error hacia Adelante que permite hacer transmisiones más precisas corrigiendo errores .

El tema es que el modo de transmisión JT65 usado por los radioaficionados recurre a técnicas de FCR para lograr hacer transmisiones casi libre de error en ambientes de señales débiles y mucho ruido, en los cuales otros modos de transmisión fracasan por el elevado número de errores detectados en la recepción.

 

 

 

 

 

 

 

 

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Analizador de antena con Arduino y AD9850

El analizador de antena es un instrumento que mide los parámetros eléctricos de una antena. Los parámetros más conocidos es la Relación de Ondas Estacionarias “ROE” en inglés “SWR” y la impedancia “Z”. En general la impedancia tiene dos parámetros: el resistivo y el reactivo por lo que se expresa como un numero complejo  Z = R + jX donde “R” es la parte resistiva y ”X” es la parte reactiva. “J” es un numero imaginario (raíz cuadrada de -1) utilizado para indicar que el número es complejo.

Una de las actividades preferida de los Radioaficionados es construir modificar y probar antenas con la motivación de experimentar que es la esencia de la radio-afición.    Para trabajar con antenas, un instrumento que pueda medir sus características se convierte en una necesidad.

En el campo profesional de instalaciones de radio, ejemplo telefonía celular y estaciones comerciales de radio,  las antenas deben ser probadas exigentemente para lo cual utilizan analizadores de antena de uso profesional.

En el mercado hay varios fabricantes que ofrecen analizadores de antena, un ejemplo es el ANRITSU S820E y similares con precios del orden de US 10.000 inalcanzables para uso en radio afición pero requerido en operación comercial.

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Los radioaficionados prefieren usar medidores menos sofisticados pero con precios  mas asequibles como ha sido el MFJ-259 con un precio de US 300. Hay una versión actualizada MFJ-266 que extiende el rango de mediciones hasta UHF pero con costos de US 400 y una versión economica MFJ-266 a USD 350.

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Los anteriores modelos presentan los resultados en una pantalla alfanumérica de 2 líneas.  Con el desarrollo de nuevos componentes los nuevos analizadores de antena reemplazan las pantallas LED y TFT.  Ejemplos de ello son el MFJ-223 con precio de USD 280 y el Ring Expert AA-54 de USD 350.

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Con el uso de pantallas gráficas es posible presentar un diagrama con los resultados de las mediciones en un rango dado de frecuencia. En los primeros analizadores la medición correspondía al resultado en una frecuencia especifica, en cambio en los gráficos se programa una frecuencia mínima y máxima y el instrumento realiza un barrido en el rango de las frecuencias especificadas y presenta una curva con las mediciones logradas. Esta ultima información resulta muy útil porque con una sola medición uno tiene una visión clara de como es el comportamiento de la antena en una banda de frecuencias.

MI PROYECTO

Tengo la idea de desarrollar y construir un analizador de antenas para uso de aficionado pero utilizando componentes electrónicos de nueva generación. Empezando con un modelo básico y continuar el desarrollo para conseguir analizadores de mejores prestaciones.

En el mercado electrónico se consigue un sintetizador de frecuencia con referencia AD9850 el cual actúa como un generador de señales de 0-50 Mhz.  Su costo es menor a 10 USD y genera una onda sinusoidal muy precisa a la frecuencia que se desee.  El AD9850 necesita que le informemos la frecuencia que se desea por un enlace de datos. Entonces hay otro componente que coopera con él y son los micro-controladores los cuales pueden encargarse de programar el AD9850 a la frecuencia deceada y además nos sobran puertos para realizar funciones de contro. Otra ventaja de los microcontroladores es que algunos de sus puertos se pueden usar como convertidores análogos digitales permitiendo usar estos puertos como medidores de tensión necesario para lograr las mediciones de la antena.

Entre los controladores a usar esta los fabricados por Micro-Chip como son lo de la seria 16F… y 18F… pero últimamente han adquirido popularidad los ARDUINOS que en una pequeña tarjeta con un micro incluido y otros componentes como cristales, resistencias y condensadores necesarios para su funcionamiento

Los Arduinos vienen ya preparado para conectarse a un PC a través de un puerto USB lo que los hace muy rápidos para desarrollar nuevos circuitos porque a través del USB el chip puede ser programado directamente desde una computadora y en lenguaje de alto nivel.

Para un proyecto como el de analizador de señales un Arduino NANO es as que suficiente y es el mas barato ya que su coste no alcanza los USD 10. Si un nano resultara insuficiente entonces podríamos escalar la solución a usar Arduinos UNO,  MEGA, y mas poderosos dentro de esta línea.

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TEORÍA DE UN ANALIZADOR DE ANTENA

La mayoría de los Analizadores de Antenas son instrumentos de medida basados en lo que se llama un puente se Wheatstone. En la siguiente figura se muestra como es el circuito del puente.

analizador antena 1

Consiste de una fuente de voltaje “V” y 4 resistencias. El voltaje en el punto A o B depende de la relación de las resistencia de cada una de las ramas.  Si el voltaje entre los puntos A y B es 0 voltios entonces la siguiente expresión matemática es correcta: R1/R2 = R3/R4 y decimos que el puente esta equilibrado.

El puente de Wheatstone se puede usar como instrumento para medir resistencias con el siguiente circuito:

analizador antena 2

en el cual la anterior resistencia R4 sera la resistencia que queremos medir (Rx) y Rv es una resistencia variable calibrada. R1 y R2 son resistencias de un valor fijo. Cuando queremos medir la reistencia Rx, colocamos un medidor de tension entre los puntos A y B y ajustamos la resistencia Rv hasta obtener lectura de 0 voltios en el instrumento. En ese momento se cumple que R1/R2 = Rv/Rx, si manipulamos la formula tendremos que Rx = Rv * (R2/R1).

Co R1 y R2 tiene valores fijos entonces R2/R1 es una constante y por consiguiente conociendo Rv podemos calcular el valor de Rx.

Para el caso de construir un Analizador de Antena el circuito se modifica un poco tal como se muestra en el siguiente circuito:

analizador antena 3

 

El suministro de voltaje va a ser generador de corriente alterna a la frecuencia que queremos medir la antena. Las tres resistencias R1, R2 y R3 serán de 50 ohms cada una. Este valor se ha escogido porque la resistencia esperada de la antena generalmente es de 50 ohms también y resulta mas fácil equilibrar el puente. La antena se conecta como si fuera la cuarta resistencia del puente.

La antena a la corriente alterna se comporta como una impedancia “Z” que tiene dos componentes: Una parte que es resistiva pura “R” en el sentido que el voltaje sobre la resistencia y la corriente que circula por ella esta en la misma fase de la corriente alterna. El segundo valor es la parte reactiva “X” en donde el voltaje y la corriente van desfasados 90 grados. La reactancia “X” puede ser capacitiva o inductiva (asimilables a un condensador o una bobina) que es determinado por el signo:

Z = R +jXl  o Z = R – jXc,

Xl es una reactancia inductiva mientras que Xc es una reactancia capacitiva.

Lo ideal de una antena es que no tenga reactancia capacitiva ni inductiva, es decir que X valga cero, en este caso decimos que la antena esta resonante.

La reactancia y la resistencia se mide en Ohms pero en la anotación matemática se utiliza el símbolo “j” para indicar que son valores con diferente concepto.  “j” es igual a raíz cuadrada de -1, pero no tiene relevancia en este nivel de análisis.

Ahora bien, si alimentamos el circuito con una fuente de voltaje alterno de frecuencia “F” y un voltaje Vac, entonces entre las resistencia van a aparecer unos voltajes que llamaremos:

Vf =  voltaje sobre la resistencia R2.

Vz = voltaje sobre la antena.

Vr = voltaje entre los puntos A y B. Si el puente estuviera equilibrado Vr debería ser cero.

Note que Vac, Vf, Vz y Vr son voltajes alternos y pueden tener fases diferentes.

Un aspecto importante en las antenas es que parte de la energía que se transfiere el transmisor a la antena es retornada por la antena hacia el transmisor. Se distingue la energía enviada hacia adelante (forward) y la energía reflejada o devuelta. La relación entre esta dos energías se conoce como “ROE” que significa Relación de Ondas Estacionarias y en ingles se conoce como SWR.

El ROE es calculado de acuerdo con la siguiente formula:

ROE = (energía directa + energía reflejada) / (energía directa – energía reflejada)

En el caso que la energía reflejada fuera cero, el ROE es igual a 1 independiente de la energía directa. Si la energía reflejada llegara a ser igual a la energía directa, el divisor tendría un valor de cero y el ROE tendría un valor infinito. Un caso particular es cuando la antena regresa la mitad de la energía directa, la formula reportaría un ROE de 3.

Entonces el ROE varia entre 1 a infinito. Una característica de la medición de ROE es que es independiente de la potencia usada, por lo tanto es un parámetro característico de la antena y se usa para valorar la antena. El ROE depende de la frecuencia a que se este midiendo, entonces existe una o varias frecuencias en las cuales se obtiene mínimo valor de ROE que son las frecuencia donde la eficiencia de la antena es mejor.

El trabajo de ajuste de antenas consiste en medir el ROE para lograr tener el mínimo valor (el mas cercano a 1) para la frecuencia en que se desea operar la antena.

Volviendo al circuito anterior, y si podemos leer los voltajes indicados, por analisis de circuitos se deduce las siguientes relaciones. Estas relaciones aparecen en varios textos por lo que las tomamos como valida sin entrar en su análisis en este momento.

El ROE puede ser calculado por la formula:

ROE = (Vf + Vr)/(Vf -Vr)

La impedancia en valor absoluto sera:

Z = 50*(Vz/V3)  donde V3 es el voltaje sobre la resistencia R3

La parte resistiva de la impedancia es:

R = (2500 + (Vz^2*ROE))/(50*(ROE^2 + 1))

La reactancia se calcula:

X = RaizCuadrada( Z^2 – R^2)

 

 

 

 

 

Continuara …