La Trigonométrica y la Electrónica Capitulo 1

 

 

Siempre me ha fascinado como la trigonometría que es una rama de la matemática, aparentemente desarrollada para entender figuras geométricas, ha sido usada para explicar y desarrollar a la electrónica.

Los griegos desarrollaron la “Geometría” que es la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, Todo su conocimiento fuero descritos en un libro llamado “Elementos” por Euclides en el siglo III ac. Este libro está escrito en una forma ordenada y lógica que aun hoy en día se sigue enseñando Geometría con el mismo libro y se conoce como Geometría Euclidiana.

La Geometría Euclidiana parte de 5 postulados que son declaraciones que no tienen una demostración lógica, a partir de estos postulados se desarrolla una serie de deducciones  conocidos como axiomas y que permiten solucionar encontrar afirmaciones llamadas teoremas que tienen aplicación práctica.

Los 5 postulados de Euclides y sobre los cuales se basa su geometría son:

  1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.
  2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Los 4 primeros parecen obvios pero el quinto no tanto. Para mejor comprensión modernamente lo describen como “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela”.  Matemáticos modernos han desarrollado nuevos tratados de Geometría basadas en no aceptar este quinto postulado y son conocidas como Geometrías no Euclidianas que han permitido comprender conceptos físicos más avanzados como la teoría de la Relatividad y posteriores.  Pero en la vida ordinaria, en nuestro entorno físico, en trabajos de ingeniería y aplicaciones prácticas se sigue usando la Geometría Euclidiana.

Ya en el cuarto postulado se hace referencia al ángulo recto, por nosotros conocidos como ángulo de 90 grados y en el quinto se refiere a líneas paralelas si el ángulo entre si es de dos rectos. En la versión moderna de este postulado se refiere que a un punto exterior a una recta solo se puede bajar una perpendicular, es decir una línea que forma con la primera línea un ángulo de 90 grados, es decir un ángulo recto. Cuando dos líneas se cruzan se dice que son “ortogonales”, entonces tenemos tres conceptos que se refieren a lo mismo: ángulo recto, perpendicular y ortogonal.

La geometría Euclidiana invierte gran parte de su contenido al estudio de los triángulos ya que es la más sencilla de las figuras geométricas y las conclusiones sobre triángulos se pueden aplicar a figuras más complicadas porque estas pueden ser reducidas a figuras con muchos triángulos. Hay algunas conclusiones sobre los triángulos que tiene importancia en el desarrollo posterior del conocimiento como la afirmación que los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180 grados  y que dos triángulos que tengan ángulos iguales son proporcionales.

Pero entre todos los triángulos posibles hay un tipo que toma relativa importancia y es el triángulo en que uno de su ángulo es de 90 grados, es decir tiene un ángulo recto y por tanto son conocidos como “triángulo recto”. El momento cumbre del libro Elementos es un teorema conocido como “Teorema de Pitágoras” del cual haremos referencia más adelante.

Es tan importante el estudio de los triángulos en la Geometría Euclidiana que se desarrolló otra ciencia derivada de la Geometría y que se dedica al estudio de los triángulos basado en sus mediciones por lo cual esta ciencia recibe el nombre de “Trigonometría” del griego “Trigonos” triángulo y “metria” medida.

En Trigonometría también el triángulo recto tiene relativa importancia, por lo cual podemos hacer alguna aclaración de términos referidos a un triángulo recto:

Por definición un “Triangulo Recto” uno de sus tres ángulos tiene 90 grados, es decir es un ángulo recto. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman “Catetos” y el tercer lado que esta opuesto al ángulo recto se llama “Hipotenusa”.

Los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180 grados, en el triángulo rectángulo uno de ellos es de 90 grados por lo cual los otros dos deben sumar 90 grados. Si nosotros nos localizamos en un vértice del triángulo diferente al recto y medimos su ángulo, automáticamente conocemos el valor del otro ángulo pero el ángulo opuesto seria lo que le falta a nuestro ángulo para ser 90 grados, es decir su complemento a 90 grados.

El ángulo recto lo forman los dos catetos, los otros dos ángulos lo forma la hipotenusa con un cateto. Considerando un ángulo, el cateto que lo forma se conoce como “Cateto Adyacente” y el otro cateto como esta en el lado contrario al ángulo se conoce como “Cateto Opuesto”.

Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo diferente al recto de igual medida entonces sus tres ángulos son iguales y son “semejantes” y sus medidas de sus lados son proporcionales. Esto quiere decir que si un triángulo semejante tiene un lado de longitud mayor (o menor) en una proporción sus otros dos lados son igualmente mayores (o menores) en la misma proporción. En el caso de los triángulos rectos basta con que un ángulo (no recto) sea igual para todos los triángulos con igual ángulo sean proporcionales entere sí.  En la practica la Trigonometría se dedica a conocer los factores de proporcionalidad para diferentes valores de ángulos y así poder predecir longitudes de otros triángulos.

Si analizamos un triángulo rectángulo desde uno de sus vértices diferente al recto y a ese ángulo lo llamaos ángulo A entonces un cateto será el adyacente, el otro cateto será el opuesto y el tercer lado será la hipotenusa. Se puede observar que la hipotenusa siempre tendrá una longitud mayor que los catetos.

Por definición tenemos tres proporciones (resultados de divisiones). La división del cateto opuesto por la hipotenusa se llama “Seno”, la división del cateto adyacente por la hipotenusa se llama “Coseno” y la división del cateto opuesto por el cateto adyacente se denomina “Tangente”.  Resumiendo:

Seno = Cateto opuesto / Hipotenuza

Coseno = Cateto adyacente / Hipotenuza

Tangente = Cateto opuesto / Cateto adyacente

Estas son las tres importantes definiciones, hay otras mas como son Cotangente, Secante y Cosecante que son complementarias y que en este corta explicación no nos extenderemos en ellas.

Pueden ver que la Tangente podría deducirse como:

Tangente = Seno / Coseno

Lo que constituye una de las primeras “identidades trigonométricas” que ayudan a la resolución de problemas en trigonometría.

Para el valor de un ángulo dado, las relaciones Seno, Coseno y Tangente son valores constantes. Si conocemos el valor de un ángulo y la longitud de un solo de los lados del triángulo rectángulo, usando los valores de Seno, Coseno o tangente podemos calcular la longitud de los otros dos lados del triángulo.

Desde la antigüedad se han hecho cálculos de las relaciones trigonométricas seno, coseno, tangente para diferentes ángulos y sus resultados  han sido publicados en  libro con los valores tabulados conocido como “tablas trigonométricas”

Esta facilidad de poder calcular las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo conociendo el ángulo y uno de sus lados ha sido el gran poder de la trigonometría para hacer cálculos de longitudes sin tener que hacerlas físicamente.

Bien, ¿pero para qué sirve la Trigonometría? En un principio se uso para hacer medidas de distancias como veremos en dos ejemplos prácticos.

1- Medir la altura de un árbol.

Me separo del árbol una distancia prudencial y conocida, digamos 10 metros, ahora usando un transportador u otro instrumento que me permita medir el ángulo con que yo observo la punta del árbol. En este momento tenemos un triángulo recto en donde el cateto adyacente es la separación a que me encuentro del árbol, el cateto opuesto es la vertical del árbol, la hipotenusa seria la línea imaginaria que une mi ojo con la punta del árbol, en la práctica no estoy interesado en saber cuál es la hipotenusa. Nuestro problema es conocer la longitud del cateto opuesto y para ello conocemos el ángulo y la longitud del cateto adyacente, entonces podemos usar el concepto de Tangente = Cateto opuesto/Cateto adyacente, por lo cual

Cateto opuesto = Tangente * Cateto adyacente.

Lo único que necesitamos conocer es el valor de la Tangente para el ángulo que estamos trabajando y entonces calculamos el cateto opuesto que no es otra cosa sino la altura del árbol.

Actualmente hay aplicaciones en los teléfonos celulares (Smart phones) en los cuales el árbol se observa a través de la cámara, el teléfono analizando la foto encuentra el tope del árbol y como el conoce las características de la cámara puede determinar el ángulo con que se observa el árbol, ahora bien si le decimos a que distancia del árbol nos encontramos, entonces aplica la Tangente podemos calcular la altura en un clic.

Es más, como generalmente tenemos la cámara alguna distancia del piso, entonces la cámara puede deducir  el ángulo entre la horizontal y la base del árbol y la existencia de otro triangulo rectángulo en la cual el cateto opuesto es la altura de la cámara y podemos calcular el cateto adyacente que sería la distancia que la cámara está alejada del árbol.  Esta separación es la que necesitamos luego para calcular la altura del árbol.

De esta manera un teléfono celular puede medir la altura de cualquier objeto observándola con la cámara, en forma automática, lo único que necesitamos es estar alejados del objeto y observarlo por la cámara, el único parámetro que debemos informarle es a que altura del suelo se encuentra la cámara que no es otra cosa sino la estatura del fotógrafo menos algunos centímetros  que depende de donde sostengo la cámara.

2 Venus

En el año 1543 Nicolás Copérnico público su libro “Revolución de las Orbitas Celestes” donde exponía su teoría que los planetas incluida la Tierra giraban alrededor del Sol en lo que se conoce como “Teoría Heliocéntrica” contrario a las creencias religiosas de la época. Esto causo gran controversia y oposición de la Iglesia y el libro fue prohibido. El tema filosófico de que la tierra se movía era el problema pero si se admite el modelo heliocéntrico entonces resulta sencillo de explicar los movimientos de los planetas pero algo importante era que podíamos calcular las distancias de los planetas y predecir sus movimientos, entonces el estudio de los astros se convirtió en una ciencia de medición y de hay nace la Astronomía.

Un ejemplo de medir distancias contenido en el libro de Copérnico es el caso de Venus y uso de la trigonometría. Venus es visible como una estrella muy brillante (un lucero) en las mañanas o las tardes antes o después de la salida o ocultación del Sol. Por esta razón es considerado un planeta que orbita alrededor del sol entre la tierra y el Sol.

Venus aparece como lucero de la mañana muy cerca al Sol, con el paso de los días se va alejando angularmente del Sol hasta llegar a un máximo, luego enpieza a devolverse hacia el Sol hasta que desaparece por su cercanía al Sol y pocos días después aparece como lucero de la tarde y continua alejándose del Sol hasta un máximo  para luego regresar al Sol y volver a ser lucero de la mañana. Este ciclo se repite constantemente con un periodo de 560 días.

Si suponemos que Venus gira alrededor del Sol entonces el momento de máxima separación angular de Venus se presenta cuando la visual desde la Tierra a Venus es tangencial a la orbita de Venus y ese ángulo puede ser medido y es de unos 45 grados. Como la visual es tangencial entonces forma un angulo recto con relación al radio de la orbita de Venus por lo tanto tenemos un triangulo rectángulo con vértices en Tierra, Venus, Sol,  donde un cateto es el radio y el otro cateto es la distancia Tierra Venus, la hipotenusa es la distancia Tierra Sol.

La distancia Tierra Sol es considerada como una unidad de referencia para hacer mediciones y se conoce como UA (Unidad Astronómica). La UA es la hipotenusa, y como conocemos el ángulo, la distancia Sol Venus seria el cateto opuesto y puede ser calculado usando el valor del Seno del ángulo.

Seno = Cateto opuesto / Hipotenusa = (Distancia Venus Sol) / UA

Por tanto

(Distancia Venus Sol) = (Seno 45°) * UA

El Seno de 45° es aproximadamente = 0,7 por tanto Venus orbita al Sol  a 0,7 veces la distancia Tierra Sol.

Copérnico, siguiendo métodos similares pudo calcular las orbitas de los 5 planetas conocidos: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno   Esas medidas están consignadas en su libro con una precisión increíble para la época que fueron hechas. Después de esto la Astronomía permitía hacer cálculos más y más avanzados que años después le permitieron a Kepler encontrar leyes que gobernaban el movimiento de los astros y después Newton los resumio en las leyes de la gravedad.

 

 

Anuncios