Escala Pitagorica

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Un tardío interés por la música me ha llevado a investigar por qué se utilizan las notas musicales Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si y cual es su significado. En mi trabajo como ingeniero Electrónico siempre me he interesado por las ondas, su frecuencia, su longitud de onda y las matemáticas asociadas a estos conceptos, entonces voy a tratar de describir como un ingeniero que se aproxima al conocimiento de la música, quizás use un poco las matemáticas pero esto no es extraño ya que los Griegos considerabas la música y las matemáticas como un todo.

Una guitarra esta compuesta por 6 cuerdas unidas en sus extremos, si pulsamos una cuerda esta emite un sonido. Un músico dice que ha emitido una nota pero un físico dirá que se ha generado un sonido de una frecuencia determinada, la frecuencia es el número de vibraciones por segundo que produce la cuerda. El número de ciclos o vibraciones por segundo de la frecuencia se mide en Hertz en honor a un físico Alemán del siglo 19 que investigo las ondas electromagnéticas que dieron origen a la radio.

La guitarra tiene un “traste” donde el intérprete usando los dedos de la mano izquierda (los guitarristas zurdo usan la derecha) pisan las cuerdas para acortar la longitud de ella y producir un sonido mas agudo, los músicos dirán también que dan una nota mas alta. Empezamos a tener una relación inversa, a medida que reducimos la longitud de la cuerda la nota se vuelve mas alta y los contrario al aumentar la longitud de la cuerda la nota es mas baja. Esto que decimos para una cuerda es cierto para todos los instrumentos que utilizan cuerdas para producir sonido y es igualmente cierto para los instrumentos que generan sonido por el paso del aire por un tubo, a medida que acortemos la longitud del tubo tendremos notas más altas.

En física se puede explicar el fenómeno, un cuerda de longitud corta, al tener menor longitud oscilara  más rápido que una más larga por lo que su frecuencia de oscilación, medida en ciclos por segundo o Hertz, aumenta a medida que se acorta su longitud. Entonces la altura de la nota para los músicos es la mayor o menor frecuencia que tenga el sonido.

La música, después de siglos de evolución, ha llegado a un acuerdo de emitir un número determinado de posibles notas que corresponden a frecuencias  muy estandarizadas independiente del instrumento que se utilice. Si todos los músicos  emiten las notas en la misma frecuencia el sonido total resulta armónico, suena bien, en cambio sí tocan con diferente frecuencia el resultado es un sonido desordenado, disonante  y desagradable al oído.

Actualmente hay un acuerdo para la música de cultura occidental de usar para la nota “LA” (recordemos el pentagrama do, re, mi, fa, sol, LA, si do) una frecuencia de 440 Hertz. Todas las notas tiene siempre una relación fija entre ellas por lo cual fijando 440 Hz para LA automáticamente todas las demás notas tienen una frecuencia muy exacta.

Cuál es la relación entre las diferentes notas, porque usamos 7 (do, re, mi, fa, sol, la, si) y cuáles serán su frecuencia es el siguiente tema.

En la antigua Grecia (siglo VI AC) surgió una escuela llamada Pitagórica con una filosofía basada en la Matemática y el misticismo preocupados por la armonía del mundo y creían que la belleza y la verdad estaba en las proporciones.  Proporciones son la relación matemática que relaciona dos cosas, ejemplo una cosa es doble de otra, o es la mitad, en general una es a la otra en una proporción. Para los Pitagóricos la armonía y belleza de las cosas estaba en que las proporciones fueran expresadas como la relación de números enteros, mientras más pequeño fueran los números que indicaba la proporción más bella y armónica era. El doble es una proporción 2 a 1, la mitad es ½, el triple 3 o una relación 3/2 son armónicas, en cambio una proporción expresada con números grandes 234/568 no sería armónica.

Precisamente la música le dio bases para sustentar el tema de las proporciones y esas teorías desarrolladas por los Pitagóricos y luego por diferentes músicos a través de los tiempos se ha logrado un desarrollo musical para lograr que en la música se tengan sonidos armónicos que son bellos y agradables al oído.

Los Pitagóricos usaron el sonido producido por una cuerda para sus análisis musicales. Observaron que si tocaban la cuerda de una longitud dada y luego tocaban la cuerda a la mitad (1/2) de su longitud los dos sonidos resultaban agradables al oído, es más se oía como un solo sonido armónico, en cambio si tocaban la cuerda completa y luego con otra longitud diferente de la mitad la longitud los dos sonidos resultaban disonantes y no agradable al oído. La física puede dar una explicación del fenómeno y lo dejaremos para otro artículo.

También observaron que si emitían sonido con una cuerda a la mitad de la mitad el sonido volvía a ser armónico (1/4 de la longitud original) lo cual parece lógico porque ¼ es la mitad de ½. Lo importante es que la armonía no estaba en la longitud original de la cuerda, ni del tipo de material sino que estaba en la relación. Si la relación era de 1 a 2 (1/2) los sonidos son armónicos.

Habíamos comentado antes que una cuerda al vibrar produce un sonido en una frecuencia y que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda, entonces si acortamos la cuerda lo que logramos es una frecuencia mayor.  Si una cuerda vibra a una frecuencia F (en Hertz o ciclos por segundo) si acortamos su longitud a la mitad entonces su frecuencia será el doble. Los músicos prefieren hablar de “altura” en vez de frecuencia, entonces si la cuerda tiene una altura A al acortar su longitud a la mitad se tiene el doble de altura.

Entonces los sonidos resultan armónicos si están en una relación de 1 a 2 es decir en el doble. Si nuestra referencia (1) es una frecuencia F, los sonidos  2F, 4F, 8F,… etc serán armónicos. En música no se habla de frecuencia se habla de altura entonces una frecuencia doble tiene el doble de altura y la diferencia de altura la llaman una “Octava” (porque se considera que hay 8 notas entre una frecuencia y su doble pero eso lo veremos luego).

Entonces si tenemos la anotación de frecuencia en una línea tendremos:

 

Frecuencia 0—-1—-2—-3—-4—-5—-6—-7—-8—-9—-10-

Octavas         <  1 ><—2—-><——–3———><——–4—

Entonces hemos construido una escala en que cada sonido (nota) se emite con el doble de la frecuencia de referencia es decir 1, 2 , 4, 8, 16, 32, etc. En música esta seria una escala de octavas.

Hacer música con una sola nota resultaría aburrido, muy pobre, necesitamos otras notas para enriquecer de sonidos. Esto es posible si unamos una proporción diferente de 2  y que sea un número bajito para cumplir con el concepto de armonía que introdujeron los Pitagóricos.

Si observamos en la mitad de la segunda octava (2 a 4 veces la frecuencia de referencia) esta el numero 3 entonces podríamos construir una escala proporcional a 3 en vez de 2.  La frecuencia 3F esta en la mitad de la segunda octava, esta nota también puede existir en la primera octava y ocuparía la posición 3/2 y todo cuadra matemáticamente: la frecuencia 3/2 su doble será 3 y el doble de 3 sera 6, etc.  Entonces la nota con relación 3/2 en la primera octava será la frecuencia 3 en la segunda octava y su proporción dentro de la segunda octava será también 3/2. En la tercera octava será la frecuencia 6F, como la referencia de la tercera octava es 4 su proporción relativa seria 6/4 = 3/2 y asi sucesivamente.

Adelantandonos a los nombres diremos que la frecuencia de referencia la llamaremos DO y la que esta en relación 3/2 la llamaremos SOL.

Ahora tenemos dos notas posibles en la octava, la referencia y la proporción 3/2. Entonces podemos genera nuevas notas si duplicamos la frecuencia (octavas) o triplicamos la frecuencia:

Octavas –duplicamos la frecuencia-  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc

“—“    – triplicamos la frecuencia –  1, 3, 9, 27, 81, 127, etc

La distancia que hay cuando triplicamos se llama “Quinta” difícil de entender en esta parte de la explicación pero que tiene su lógica como se podrá ver mas adelante. Las quintas comienzan en las frecuencias F, 3F, 9F, 27F, etc.  3F corresponde a la relación 3/2 dentro de la octava.

Frecuencia 0—-1—-2—-3—-4—-5—-6—-7—-8—-9—-10-

Octavas         <  1 ><—2—-><——–3———><——–4—

Quintas         <—–1—><————–2————-><—3-

Si a la frecuencia 3F la triplicamos tendremos la frecuencia 9F que pertenece a la 4 octava  que comienza en 8F. 9F en la cuarta octava esta en la relación 9/8 lo cual seria nuestra relación también en nuestra primera octava.

Ahora tenemos 3 notas con las siguientes relaciones 1,  3/2 y 9/8.  A la relación 9/8 la llamaremos RE. Actualmente estamos más acostumbrados a escribir las relaciones como decimales, entonces tenemos:

1             =             1             DO

3/2         =             1,5          RE

9/8         =             1.125     SOL

La siguiente quinta seria el triple de 9F es decir 9 x 3 = 27F que estaría en la quita octava que empieza en 16F por lo tanto su relación dentro de la octava seria 27/16. A esta nueva nota la llamaremos LA.

Como podemos notar, podemos generar nuevas notas que siempre estarán en una relación :

3n /2m

Donde n es el orden de la quinta y m es el orden de la octava. La relación debe ser siempre un valor mayor que 1 y menor de 2 que corresponde a una octava.

La nota LA corresponde a n = 3 y m = 4correspondiente al orden de la tercera quinta.

En la práctica se posible buscar notas hasta el orden 12 dando la siguiente relación:

Orden                  n                             m                           relación               Nota

1                             0                             0                             1                             DO

2                             1                             1                             1,5                         SOL

3                             2                             3                             1.125                     RE

4                             3                             4                             1,6875                  LA

5                             4                             6                             1,265625              MI

6                             5                             7                             1,8984375           SI

7                             6                             9                             1,423828125       FA#

8                             7                             11                           1,0805335           DO#

9                             8                             12                           1,6018066           SOL#

10                           9                             14                           1,20135498         RE#

11                           10                           15                           1,8020324           LA#

12                           11                           17                           1,35152435         FA

Podríamos calcular la relación para el orden 12 es decir n = 12 y m = 19 lo que nos da una relación de 1,01364 lo cual es un valor muy pero muy cercano a 1. Como estas relaciones se usan para generar frecuencias es técnicamente difícil construir un instrumento musical que produjera una nota de referencia y otra nota 1,013 (1,3 %) mayor. Lo mismo pasa con el oído que difícilmente descubre que hay una ligerísima diferencia de frecuencia. Por esta razón la construcción de la escala de notas se limitan a solo 12.

Esta escala musical de 12 notas compatible con octavas y quintas se conoce como escala Pitagórica y eran las notas usadas en la antigüedad hasta el siglo 18.

En la escala Pitagórica podemos notar ciertas características:

Del grado 1 al 6 se crearon 6 notas que conocemos como las notas naturales: DO, RE, MI, SOL, LA, SI. Del grado 7 al 11 tenemos lo que se llaman notas alteradas por un sostenido (#), la excepción es FA que está en el grado 12.

Si suponemos el orden de las notas naturales como DO, RE, MI, FA, SO, LA SI, DO se puede ver que el primer orden es DO, el segundo ordes en SOL entonces:

Orden                  NOTAS

1                             DO

2                             DO         RE           MI          FA          SOL

3                             SOL        LA           SI            DO         RE

4                             RE           MI          FA          SOL        LA

5                             LA           SI            DO         RE           MI

6                             MI          FA          SOL        LA           SI

Entonces cada vez que subimos de orden la nota natural cambia 5 posiciones por eso el avance en el orden de tres se llama por “quintas”, cuando avanzamos en orden de 2  avanzamos 8 notas y entonces lo llamaos “octavas”.

 

Los valores de relación parecen arbitrarias, si ordenamos las relaciones de menor a mayor tendremos la tabla de esta manera:

Relación                              Nota                                     Orden

1                                             DO                                         1

1,0805335                           DO#                                      8

1,125                                    RE                                          3

1,20135498                         RE#                                       10

1,265625                             MI                                         5

1,35152435                         FA                                          12

1,423828125                      FA#                                       7

1,5                                         SOL                                       2

1,6018066                           SOL#                                     9

1,6875                                  LA                                          4

1,8020324                           LA#                                       11

1,8984375                           SI                                           6

Ahora si vemos el orden de las notas tal como lo conocemos. Lo anterior corresponde a la llamada “Escala Pitagórica” deducida del uso de Octavas y Quintas usando calculaos matemáticos. Su idea viene de la escuela Pitagórica del siglo VI AC y fue usada para producir música hasta el siglo XVII. Aunque la escala es lógicamente perfecta  en la practica de construir instrumentos e interpretarlos presentan algunas dificultades  en su uso. Estas dificultades motivo a muchos músicos a la búsqueda de soluciones y en el siglo XVIII , especialmente a la influencia de Johan Sebastián Bach la escala pitagórica fue modifica a algo que ahora se llama “escala temperada” que es la extensamente usada actualmente.

Estos cambios serán el tema de nuestro siguiente artículo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2 Comentarios Agrega el tuyo

  1. Eduardo Ruiz dice:

    Eugenio muy buena exposición, pero los músicos no “pisan” los trastes, pisan los ESPACIOS que hay entre ellos.

  2. euthoga dice:

    Tiene toda la razón. La acción de pisar la cuerda es hacer que la cuerda se apoye en el traste y acorte su longitud. En la ejecución el dedo, en efecto, se coloca en el espacio entre dos trastes.

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