Algebra de Boole

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Articulo leído en el Programa Colombiano para Radio aficionados, el domingo 13 de Septiembre 2015.

George_Boole
A principio del siglo 19, cuando en Colombia estábamos en la guerra de independencia y gobiernos de Bolívar y Santander, en Europa vivieron algunos grandes matemáticos que desarrollaron ideas y conceptos que ahora en el siglo 21 permiten el desarrollo de la electrónica. En esa época, principio del siglo 19, vivieron Jean-Baptiste Joseph Fourier quien desarrollo la teoría de transformación con la idea de resolver el problema de como el calor se propaga a través de un sólido, el trabajo de Fourier ha sido usado últimamente para hacer equipos electrónicos para manjar radio y sonido. Otro matemático de esa época fue Clark Maxwell quien al tratar matemáticamente el efecto de la electricidad y magnetismo le permitió conocer la existencia de las ondas electromagnéticas que ahora permite la existencia de la radio.
La lista de matemáticos es larga pero hoy quería referirme a un matemático ingles de la época llamado George Boole quien nació en Inglaterra en 1815 y murió en Irlanda en 1864 a los 49 años. En su juventud se interesó por la religión y quiso ser monje pero los problemas económicos lo llevaron a ser maestro de matemática. Su interés por las matemáticas y la teología lo motivo a crear una lógica basada en leyes matemáticas.
La idea central de su pensamiento era usar solo dos magnitudes: cero o uno, verdadero o falso, el universo o la nada, etc. Dos magnitudes en oposición a el resto de la matemáticas que utilizan mas magnitudes: en geometría usamos 3 magnitudes (alto, largo, profundidad), en aritmética se utiliza base 10, 12 o 60, etc.
Con la idea de dos magnitudes, Boole desarrollo reglas al estilo matemático para relacionar estas dos magnitudes que a su vez dan resultado en dos magnitudes. A este nuevo desarrollo matemático se llamó “algebra de Boole” o algebra Booleana.
George Boole escribió un libro titulado “An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities” algo asi como “Una investigación de las leyes del pensamiento sobre los cuales están fundados la teoría matemáticas de la lógica y las probabilidades. Un título largo pero fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas.
Al principio, la algebra booleana parecía más un juego de palabras pero con el tiempo tomo su importancia y ha sido la herramienta que ha permitido la construcción de los computadores. Ahora podemos decir que un computador es una máquina que maneja algebra booleana.
Como ya hemos dicho, en la algebra de Boole manejamos dos magnitudes únicamente: cero y uno o equivalentes cierto y falso que son conceptos de lógica. Además Boole relaciono palabras del lenguaje cotidiano a reglas matemáticas para manejar estas dos magnitudes.
En el lenguaje cotidiano usamos dos palabras que se usan para conectar otras palabras: Estas palabras en español son la “o” y la “y” y hacen parte de lo que en gramática se llaman “conjunciones”. Con estas dos conjunciones hacemos frases como “Pedro y Juan” o “Pedro o Juan”. En la primera frase “Pedro y Juan” estamos diciendo que los dos personajes Pedro y Juan deben estar presentes para que la expresión sea correcta. Si uno de los dos o los dos faltas, la expresión es incorrecta, es decir falsa. En cambio cuando decimos “Pedro o Juan” la expresión es correcta con solo uno de los dos nombre, para ser falsa se requiere que ninguno de los dos esté presente.
En el lenguaje hablado no es siempre preciso y depende de la actitud o el contexto en que se habla, por ejemplo a veces se habla en lenguaje figurado o en sentido irónico y las palabras pueden tener significados diferentes.
La idea de Boole con su algebra fue asimilar las dos conjunciones “y” y “o” a operaciones matemáticas regidas por la ley que las defines. En matemáticas tradicionales existen dos operadores: la suma y la resta regidas por unas reglas que se presentan generalmente como unas tablas que conocemos como “las tablas de sumar” o de restar: 1+1 = 2, 1+2=3, 1+4=5,…, etc.
Pues bien, según Boole, “y” y “o” son operadores en su nueva algebra definidos por tablas que se llaman tablas de verdad y son relativamente simples:
TablaOR_08309 TablaAND_08309
Para la Y: Si los dos ciertos el resultado es cierto, en otro caso, si uno o los dos son falsos) el resultado es falso. Para la operación O, si al menos uno de los elementos e cierto, el resultado es cierto. La operación será falsa solo si todos los elementos son falsos.
El idioma ingles se ha convertido en el idioma preferido para el manejo de la ciencia entonces la palabra Y en español es AND en inglés y la palabra O es en ingles OR. Por ese motivo cuando hablamos de algebra de Boole se prefiere usar las expresiones AND u OR.
Boole agrego otra operación a su algebra tomada también del lenguaje cotidiano. Es la palabra NO que corresponde a la negación. La nueva regla es que si algo es verdadero, el resultado de su negación será falso y si es falto su negación es verdadero.
El álgebra de Boole se basa en el uso de dos magnitudes y tres operaciones para generar una lógica parecida al idioma cotidiano pero con la rigidez dada por leyes matemáticas.
En el lenguaje cotidiano tenemos “proposiciones” (o frases) las cuales pueden ser ciertas o falsas lo cual puede asociarse a las funciones matemáticas (ecuaciones en algebra) las cuales dan un resultado. Una palabra usada para iniciar un proposición es la palabra SI: Si Pedro y Juan están o la otra “Si Pedro o Juan están”.
Hay una sutileza en el idioma español: La misma palabra SI tiene dos significados, la usamos para indicar afirmación, ejemplo Pedro si es católico, pero SI tiene significado de condición en la frase “Si Pedro es católico”, en este caso estamos proponiendo una condición que puede ser cierta o falsa. En el idioma ingles no existe esta dualidad de palabra, el Si como afirmación es la palabra YES y el si como condición es la palabra IF.
En algebra booleana se utiliza el SI condicional, es decir la palabra IF y va acompañada generalmente de otra palabra ENTONCES, (en inglés THEM). En los ejemplos tomados del lenguaje cotidiano hemos dicho Pedro y Juan como caso particular, es decir son los elementos de nuestra conversación, al asociarlo con el álgebra en donde se manejan variables podríamos decir que en el lenguaje usamos dos personas (Pedro y Juan) que son variables en Algebra. Para ilustrarnos pongamos unos ejemplos:
Decimos Si Pedro y Juan están, entonces hay once jugadores. Significaría que hay 9 jugadores y se necesita de ambos (Pedro y Juan) para que la frase sea cierta.
Pero también podemos decir Si perona1 y persona2 están entonces hay 11 jugadores. Es una forma más general de hablar, no nos referimos a Pedro ni a Juan, es sobre dos personas en forma genérica.
Para anotarlo como algebra diríamos Si A y B están entonces hay 11 jugadores.
Bueno, he estado hablando de un juego de frases que utilizan unas pocas palabras: Y, O, NO y SI condicional con los cuales George Boole creo una algebra que muchos años después ha sido transcendental para el desarrollo de la electrónica. ¿Porque?
Los valores 0 y 1 se simulan en electricidad por la presencia o no de electricidad. En la actualidad los circuitos electrónicos se consideran 0 voltios como 0 y 5 voltios como 1, esto es común en circuitos que utilizan transistores y se conocen como circuitos TTL que significa Transistor, transistor Lógica, pero en circuitos más recientes utilizan transistores de efecto de campo llamados C-MOS porque están hechos de uniones Metal Oxido Silicio (MOS) que consumen muy poca corriente y trabajan con un voltaje más bajo y el “1” se considera de 3.3 voltios.
Las operaciones AND (y) y OR(o) pueden ser simulados con simple circuitos de resistencias, diodos y transistores llamadas compuertas en ingles GATES. En la actualidad un computador depende de un procesador (llámese Intel, AMD, etc) que no es otra cosa que una colección de millones de compuertas para que realicen procesos OR, AND o NO.
Con el uso de un lenguaje parecido al que hablamos y utilizando unas poquísimas palabras (IF, OR, AND, NO,…) y siguiendo las ideas de la algebra booleana se puede lograr un conjunto de operaciones lógicas que nos llevan a resolver problemas usando la lógica. Esta forma de escribir textos siguiendo el álgebra de Boole y en un lenguaje muy parecido a nuestra forma de hablar se llama simplemente SOFTWARE y los circuitos que forman las compuertas para OR y AND se llama HARDWARE.
Estas dos palabras Software y Hardware son los constituyentes de todos los equipos electrónicos de última generación y todo es herencia de la algebra ideada por George Boole en el siglo 19.

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Un comentario Agrega el tuyo

  1. Oscar Robledo dice:

    Excelente, muy buen trabajo de síntesis, para explicar el algebra de Boole.
    Con los diferentes elementos de la lógica usada en los computadores.
    Afortunadamente está escrito su espacio dentro del Programa para Radioaficionados, ya que por estos días las condiciones de propagación en HF están muy difíciles y no puede escuchar completamente su participación.
    Gracias Eugenio.

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