Electrónica y matematicas

Un matemático Polaco llamado Leopold Kronecker dijo: “Dios ha creado los números naturales, el resto es obra del hombre” lo que me da pie para contar alguna historia sobre los “números” que utilizan las matemáticas y al final el uso de los “números” en la Electrónica y las telecomunicaciones. Un mejor conocimiento de los números nos puede llevar a entender mejor la electrónica.
En principio existe los números “enteros”, son intuitivos, lo usamos para contar, 1, 2, 3, …, 2013, 2014, 2015, etc. Van desde cero y llegan al infinito. Las matemáticas definen una operación llamada Suma o Adición que se puede aplicar a los números. La suma tiene a su vez una operación inversa llamada Resta.
Las operaciones de suma o resta siempre deben dar un resultado. Con la suma no hay problemas pero con la resta surge un detalle cuando la cantidad a que se resta es menor que la cantidad restada. La solución es considerar que hay números con signo negativo que son la solución a este inconveniente. De esta manera el campo de los números enteres se extiende a números positivos y números negativos con un rango que va de menos infinito a mas infinito y cero es el límite entre números positivos y negativos.
La suma da origen a otra operación llamada multiplicación que no es otra cosa que sumas sucesivas de un mismo número. La operación inversa a la multiplicación es la división.
La división nos crea otro inconveniente: no siempre la división de dos números enteros da un número entero. Para solucionar este inconveniente se definió un nuevo tipo de número llamados “fraccionarios” como puede ser ½, 1/3, 250/9, etc. Un avance en la escritura de números condujo a que los números fraccionarios se pudieran escribir como una sucesión de números dando lugar a los números decimales.
El campo de los números enteros se extendió con los números faccionarios (o decimales). El campo de los números enteros y los fraccionarios se conoce como números “racionales” ya que siempre pueden ser definidos como el resultado de una de las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.
El avance de las matemáticas llevo a crear otras operaciones como es la potenciación que es una multiplicación varias veces de un mismo número y una operación inversa que es la búsqueda de un número que multiplicado un número de veces del número deseado.
La radicación (o búsqueda de la raíz) nos conduce a tener algunos números como por ejemplo raíz cuadrada de dos, es decir que numero multiplicado por sí mismo da como resultado dos?
La raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,7172 como numero decimal pero nunca podrá ser expresado exacto en notación decimal: el número de decimales es infinito. Ni tampoco puede ser expresado como un número fraccional de dos números enteros, por lo tanto no existen en el campo de los números “racionales” y por tal motivo son llamamos números “irracionales”.
Otras operaciones matemática generan números irracionales: La geometría define un número que es la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro de un circulo. Este número, conocido por todo el mundo, se llama “Pi”. Pi es aproximadamente igual a 3,1416 en notación decimal y no puede ser anotado como fracción de dos números enteros por lo tanto es “irracional”. El valor 3,1416 es una aproximación, pero el número Pi es muy exacto, su valor es Pi y es la relación de la circunferencia al diámetro.
Hay otro número llamado “número e” extensamente usado en las matemáticas y ni se diga de la electrónica donde frecuentemente aparece en las formulas relacionadas con circuitos. “E” es un número irracional con un valor aproximado a 2,71828 y sale de una definición y no de una operación de números enteros. Varios análisis matemáticos conducen a la existencia del número “e” pero en este momento no hay tiempo para su análisis pero se puede decir que las personas que primero conocieron la existencia de este número fueron los mercaderes de Venecia cuando quisieron calcular el interés compuesto. En electrónica, si tenemos un circuito de un condensador y una resistencia, el voltaje y la corriente pueden ser calculados usando una constante que es el número “e”.
En resumen, hasta ahora: Los números enteros positivos y negativos junto con los números fraccionarios conforman los números racionales. El conjunto de los números racionales e irracionales conforma el campo de los números “reales”, es decir todo lo que aparentemente existen.
Pero el desarrollo de las matemáticas ha continuado. Debemos retornar a los números enteros positivos y negativos y a la operación de multiplicación. Si multiplicamos dos números positivos el resultado continúa siendo positivo. Si multiplicamos un número positivo con un negativo o lo contrario un negativo con un positivo el resultado es un número negativo, lo cual parece evidente.
Pero si multiplicamos dos números negativos se afirma que el resultado es un número positivo, esto esta soportado por la lógica que si yo niego una negación es resultado es que estoy afirmando un hecho. Lo cierto es que por lógica el producto de dos números negativos es un número positivo, lo cual no lleva a una encrucijada.
Que numero es la solución a la raíz cuadrada de menos cuatro? Aparentemente 2 es la raíz cuadrada de 4 ya que 2 por 2 igual a cuatro. Pero si 2 es positivo, 2*2 es igual a 4 positivo y si 2 es negativo -2 * -2 da igualmente 4 positivo pero ninguno nos da el resultado que esperábamos que es menos 4.
Simplificando se puede afirmar que no hay solución en el campo de los números reales a la operación raíz cuadrada de menos uno. Conclusión igual se llega por el desarrollo del Algebra cuando algunas de las variables están potenciadas con valores mayores de 1.
La solución dada por los matemáticos es que existen números más allá de los números reales los cuales estarían compuestos de una parte real y una parte “imaginaria” en la forma (A + iB) donde A es la parte real y B es la magnitud de la parte imaginaria y la letra “i” seria simplemente la raíz cuadrada de -1. Estos números se llaman “complejos”.
Puede deducirse que los números Reales (puros) son números complejos en que la componente imaginaria es cero B=0. Podemos tener también números imaginarios puros en los que la componente real es cero A=0.
Bien, hemos gastado tiempo hablando de números a una audiencia de expertos en electrónica pero el motivo es que la electrónica es quizás la rama de la ciencia que más utiliza los recursos matemáticos de los números. Los números irracionales como e, pi, raíz cuadrada de 2, y el concepto de números complejos son parte de la solución a problemas de circuitos.
En matemáticas puras se utiliza la letra “i” para indicar el componente imaginario, pero las formulas en electricidad utilizan la letra “i” para indicar intensidad de corriente (amperios) por lo cual en las fórmulas matemáticas de electricidad se utiliza la letra “j” en vez de “i”. Es decir “j” es igual a la raíz cuadrada de -1.
Ahora podrán comprender cuando en nuestra practica como radioaficionados usamos un instrumento para medir la “impedancia de una antena” el resultado son dos valores uno de ellos, el de la derecha, se inicia con la letra J. Lo que hemos hecho es leer un numero complejo compuesto de dos valores, el de la izquierda es el componente real y el de la derecha es el imaginario y por tanto es precedido con la letra J, es decir raíz cuadrada de menos uno!
En terminología eléctrica normalmente no decimos “parte imaginaria” si no le decimos “reactancia” o parte reactiva pero es lo mismo desde el punto de vista matemático. En la practica la parte real es la más significativa e importante en rendimiento a largo plazo, la parte imaginaria o reactiva son proceso que se realizan instantáneamente.
Los parámetros eléctricos Voltaje, Corriente y Resistencia son definidos más exactamente como números complejos. La ley de Ohm, base de todos los cálculos electrónicos, es más genérica definida con variables complejas.
Si usamos solamente corriente continua, todos los cálculos se pueden hacer usando números reales. Los componentes imaginarios aparecen cuando usamos corrientes alternas o variables.
En una corriente variable, el valor instantáneo, o en un momento dado depende de cuánto tiempo ha transcurrido desde un punto de referencia, es decir que el comportamiento en un punto dato depende del tiempo y tenemos unos valores que están en la misma fase mientras otros son predecibles pero presentan un retardo o adelanto con respecto al tiempo real, es decir no están en fase.
Al usar números complejos, lo que está en fase es la parte real mientras lo que esta adelantado o atrasado es el componente imaginario. La parte imaginaria se toma como el valor “ortogonal” que quiere decir perpendicular o en ángulo recto con relación al valor real.
Entiendo que es un poco complejo pensar con variables complejas pero lo que tenemos que tener en cuenta es que la parte real es lo más intuitivo y lo que más fácil entendemos pero la parte imaginaria es una abstracción para poder explicar cosas si nosotros nos metemos en el dominio del tiempo: hay cosas que suceden antes o después de un instante dado pero afectan el momento. Esto que va atrasado o adelantado es nuestro parámetro imaginario.

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2 comentarios en “Electrónica y matematicas

  1. Oscar Robledo dijo:

    Estimado Eugenio, muy buena la explicación de los números y cómo se han ido agrupando en Naturales, Reales, Negativos y hasta imaginarios para un mejor cálculo.
    De manera sencilla ha introducido el concepto de números imaginarios y cómo son de uso práctico en la electricidad y electrónica.
    Hubo un lapsus de escritura con el número decimal de la RAIZ de 2
    ya que es 1.41421356…..
    y en el caso de Raíz de 3 es: 1.7320….

    Cordial Saludo

    Oscar

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