Transformada de Fourie

Existe una onda que es descrita por la función trigonométrica seno y se conoce como “onda sinusoidal” y que es generada por un círculo que gira a un número de vueltas dada en la unidad de tiempo. El número de vueltas dadas en un segundo se conoce como la “frecuencia” de la onda. Otra característica que tiene una onda sinusoidal es su máxima amplitud que puede alcanzar. Si nosotros tenemos una onda sinusoidal de una amplitud “A” y una frecuencia “f” entonces podemos calcular el valor de la amplitud en un instante de tiempo dado como:
a = A*Sin(2*pi*t)
Recordemos que los generadores de corriente eléctrica casi siempre son motores en que una bobina se hace girar dentro de un campo magnético por lo tanto la corriente generada es una onda sinusoidal de una frecuencia múltiplo de la velocidad de giro del motor. Muchos circuitos electrónicos producen ondas sinusoidales. Un condensador y una bobina tiende a oscilar sinusoidalmente a una frecuencia igual:
f = 1 / 2*pi*(raíz cuadrada) L * C
En general la ondas sinusoidales es como la “onda perfecta” que están descritas por una frecuencia y una amplitud máxima y una función matemática sencilla que nos permite calcular su comportamiento en cualquier instante de tiempo.
Pero en la práctica tenemos ondas que no son precisamente sinusoidales sino que tienen formas complejas. La cuerda de un violín y una guitarra son afinadas para que emitan una nota LA de 440 ciclos por segundo pero al oído nos suena diferente y es que aun cuando usan la misma frecuencia la forma de onda del violín y la guitarra son diferentes ( los músicos lo llaman timbre).
Lo que sucede es que las cuerdas oscilan a la frecuencia de 440 Hz pero también vibran a frecuencias múltiplos de 440 llamadas las armónicas, es decir que el sonido de la cuerda es la mezcla de un sonido fundamental y algunas armónicas. El número de armónicas y el peso de ellas en el sonido total dependen del material de la cuerda, por eso es diferente el timbre del violín y la guitarra.
Cuando nosotros hablamos nuestras cuerdas bucales generan ondas de sonido a diferentes frecuencias que nuestra boca combina para generar las diferentes silabas, es decir que una silaba a otra difiere en el número de señales de diferente frecuencia y con diferente peso en su composición.
Cuando nosotros tenemos una antena, ella capta ondas electromagnéticas de muchas frecuencias. Si nosotros en un instante dado midiéramos el voltaje este seria la sumatoria de muchas frecuencias recibidas con diferentes intensidades, es decir que en la antena parece una señal variable correspondiente a la sumatorias de todas las frecuencias que esta captando.
En resumen, cualquier onda o señal variable en el tiempo está constituida de una sumatoria de frecuencias fundamentales (funciones sinusoidales) con amplitudes específicas.
Entonces tenemos dos problemas (mejor dicho, dos inquietudes). Si nosotros observamos una señal variable queremos conocer que componentes de frecuencia tienen o lo inverso, si tenemos una serie de frecuencia y las mezclamos que forma de onda tendremos? La respuesta teórica no las da la matemática.
A principio del siglo 19 vivió el matemático y físico Francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1769-1830) amigo de Napoleon que encontró un proceso matemático que le permitia descomponer una señal periódica en sus componentes de frecuencia, el proceso se llama “Transformada de Fourie”. Recordemos que Fourie vivió en una época en que la electrónica no existía y su desarrollo matemático fue para resolver unos problemas que tenia de termodinámica pero sus soluciones teóricas están dominando el campo de la electrónica de los últimos años.
La electrónica no es otra cosa sino el manejo, digamos mejor, manipulación de señales: Tenemos una señal y entonces la amplificamos, atenuamos. Extraer información de la señal es encontrar si tiene unas frecuencias específicas, adicionar información es adicionarles algunas frecuencias.
Durante el siglo 20, la electrónica se desarrolló mucho utilizando circuitos electrónicos basados en componentes pasivos como resistencias, condensadores y bobinas y otros componentes activos como los tubos electrónicos que luego fueron sustituidos por los transistores. En la medida que se conseguían más y mejores componentes los circuitos se volvieron más complejos y los resultados más detallados. A fines del siglo 20 un radio de comunicaciones utiliza miles de transistores, condensadores, resistencias con el fin de captar una señal que existe en una antena y darnos como salida la información si existe una frecuencia especifica (portadora) y si en las cercanía de esa frecuencia hay otras (modulación).
En la electrónica del siglo 21 se esta presentando una “reingeniería”, en vez de manipular las señales por medio de circuitos con componentes electrónicos se prefiere analizar directamente la señal y encontrar que componentes tiene. La solución teórica es la “Transformada de Fourie”, pero como esto es un proceso matemático que implica mucho calculo, su implementación práctica solo ha sido posible en la medida que se dispone de computadores más poderosos y más rápidos.
Si nosotros, desprevenidamente, consultamos libros de matemáticas sobre la Transformada de Fourie saldremos frustrados, el tema es de alta matemático. La transformada es la integral en el campo de números complejos de una función en el dominio del tiempo, etc imposible de entender si no somos estudiantes universitarios de matemáticas. Pero ha existido personas que metódicamente han convertido estos conceptos teóricos en aplicaciones prácticas.
La transformada de Fourie es su versión matemática calcula (transforma) una onda periódica en sus diferentes componentes de frecuencia, en la práctica tenemos ondas que aun su periodo cambia con el tiempo. Volvamos a nuestro ejemplo, en un momento suena una cuerda de violín (una señal periódica) pero debido a la interpretación de la música, en otro momento suenan dos cuerdas o el mismo tono producido por un violín y una guitarra, etc. En estas condiciones es imposible calcular la transformada de Fourie para la señal producida durante los varios minutos que resulta de un concierto de música.
En la complementación practica de análisis de señales se realiza el proceso en pequemos periodos de tiempo, es decir se observa la señal durante un periodo discreto de tiempo y con estos valores se calcula la transformada de Fourie, se coleccionan datos del siguiente periodo y entonces se procesa el siguiente periodo. Es decir que la transformada no se calcula de forma continua sino en periodos discretos y por tanto este proceso se llama “Transformada discreta de Fourie”. En ingles se dice “Discret Fourie Transform” y su abreviatura es DFT.
En electrónica no usamos estrictamente la Transformada de Fourie de los textos matemáticos sino una adaptación llamada DFT.
Los cálculos de la DFT son realizados por un calculadora digitales que manejan datos (números) y no pueden manejar lo que se llaman funciones continuas como están definidas en los textos de matemáticas, pero las mismas matemáticas nos permiten formular las funciones continuas en funciones más fáciles de cálculo numérico.
Programadores de computador en conjunto con matemáticos han conseguido optimizar los cálculos necesarios conseguir la transformada de Fourie en menor número de pasos de programa. Esto es como una reformulacion del cálculo optimizado para un procesador y se conoce como la “Rápida Transformada de Fourie” del ingles Faster Fourie Transform abreviado FFT.
Además la industria está produciendo pequeños procesadores preparados específicamente para que calculen la FFT, estos nuevos dispositivos son llamados Procesadores de Señal Digital, en ingles “Digital Signal Processor” abreviados DSP.
Los dispositivos electrónicos del siglo 21 están usando mas y mas DSP que reciben una señal que analizan utilizando FFT (software) y extraemos la información de la señal sin necesidad de extensos circuitos hechos con componentes discretos.

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