Historia de la radio, parte 2

Produciendo chispas

En el articulo anterior vimos como Rudolf Hertz encontró que las chispas eléctricas producían ondas electromagnéticas predichas unos años antes por James Maxwell. Muchos científicos se interesaron por el descubrimiento de Hertz y para ellos necesitaban de una fuente que produjera chispas eléctricas. Para producir chispas eléctricas se necesita tener un alto voltaje entre dos terminales metálicos separados por una pequeño espacio de aire.

El aire es normalmente mal conductor de la electricidad pero si los conductores están muy cerca, se crean un campo eléctrico proporcional a su diferencia de potencial o voltaje entre ellos, entonces llega un momento que el fuerte campo eléctrico provoca una ionización del aire  que se vuelve conductor y es lo que entonces vemos como una chispa. Se requiere un potencial de aproximadamente 3000 voltios por centímetro para lograr chispa eléctrica.

Entonces el interés de los científicos fue tener fuente de corriente eléctricas que dieran altos voltajes para generar chispas  fuertes para continuar con los experimentos de producir ondas electromagnéticos mas vigorosas. A finales del siglo 19 el mejor generador de alto voltaje era las llamadas bobinas de inducción las cuales fueron perfeccionadas por Nicolas Tesla y son mas conocidas como Bobinas de Tesla.

En la figura que sigue se muestra un circuito de como funciona una bobina de inducción

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Tenemos un núcleo dibujado en amarillo que es de hierro al cual se han enrollado alambre eléctrico formando dos bobinados que llamaremos a uno primario (en rojo) y al otro secundario (en azul), Si hacemos pasar corriente por uno de los bobinados, el núcleo se convierte en un imán, o mejor dicho un electroimán. Al frente del núcleo se dispone de una armadura que es una lamina también de hierro que cuando el núcleo se convierta en imán sera atraída hacia el núcleo. la armadura tiene tocando un contacto metálico que es una contacto cerrado cuando la armadura esta en reposo, pero si la armadura es atraída por el núcleo el contacto eléctrico se interrumpe.

El circuito eléctrico con una batería se implementa como se muestra la figura. En el circuito incluimos un interruptor para mejor control. Si el interruptor se cierra una corriente empezara a circular por la bobina y el núcleo se imantara. La armadura es atraída abriendo la continuidad del circuito. Al abrirse la circulación de corriente la bobina se desenergiza y la armadura regresara a su posición natural. Pero si la armadura regresa u posición inicial, el contacto vuelve a cerrarse por lo que nuevamente pasara corriente por la bobina ocasionando nueva atracción de la armadura y nueva interrupción del circuito. Lo que conseguimos es que la armadura empieza a vibrar ocasionando un flujo cíclico de corriente por el núcleo mientra tengamos cerrado el interruptor. La frecuencia de esta vibración sera determinada por la construcción física, la rigidez de la armadura  y otros factores físicos.

El flujo cíclico de corriente ocasionan un campo magnético que cambia cíclicamente al ritmo de la corriente, y este cambio cíclico de flujo magnético ocasiona una inducción en el bobinado secundario. El voltaje inducido en el secundario, como el caso de los transformadores, es proporcional a la relación  de espiras  que tengan los bobinados primarios y secundarios. Por ejemplo si el bobinado primario tiene 10 vueltas y el secundario 1000 vueltas, entonces la relación de espiras sera de 1 a 100, si el voltaje de la batería es de 5 voltios entonces el voltaje en el secundario sera 100 veces mas, es decir 500 voltios.

Construyendo la  bobina y componentes adecuadamente podemos generar voltajes de algunos miles de voltios lo que nos producirán chispas eléctricas fuertes. Cada vez que se cierre el interruptor se produce una chispa eléctrica que produce ondas electromagnéticas que se propagan a distancia. al abrir el interruptor se suspende la emisión de chispa.

Entonces, nosotros podemos generar ondas electromagnéticas que son manipuladas por el interruptor. El siguiente paso es lógico, como interruptor podemos poner una llave o manipulador de los usados en telegrafía y la secuencia de cierres de la llave puede ser una codificación de señales en código morse. Las ondas electromagnéticas generadas pueden ser detectadas a distancia y serán de la misma secuencia introducida en el manipulador. Lo que se consiguió fue transferir información telegráfica sin el uso de alambre o hilos por lo que paso a llamarse telegrafía inalámbrica (en ingles wireless).

Estos primeros emisores de telegrafía inalámbrica se conocen con el nombre de transmisores de chispa. En la siguiente figura se muestra uno de estos primitivos aparatos donde se puede ver la bobina tapada en una caja de madera .

.(tomado de De Rob Flickenger – originally posted to Flickr as Spark gap transmitter, CC BY-SA 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=12064662)

 

 

 

 

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Historia de la radio parte 1

CAPITULO 1

El principio

James Clerk Maxwell (1831-1879) un matemático y físico escoces estudio en forma teórica los conocimientos que se tenían en su época sobre los fenómenos de electricidad y magnetismo y los resumió en 20 ecuaciones diferenciales que definían el comportamiento de estas dos fuerzas en el año 1861.  Lo interesante de esta formulación matemática es que predice que ante un campo eléctrico y magnético periódicamente variable, estos dos campos deberían propagarse en forma de onda hacia el espacio a una velocidad deducida de las mismas formulas.  Esta velocidad resulto ser de 300.000 km/s que curiosamente es la misma velocidad con que se propaga la luz y apoyaba la idea que algunos científicos de su época ya estaban observando que la luz tiene un comportamiento ondulatorio.  Esto condujo a la convicción que la luz era una onda electromagnética de una longitud de onda que ya se conocía  y que era del orden de 0,7 a 0,4 micrómetros de longitud es decir menos de una millonésima de metro.

Ahora bien, por definición,  la longitud de onda es el resultado de dividir la velocidad de la onda, en el caso de la luz 300.000 km/s por la frecuencia, o podemos decir que la frecuencia es el resultado de dividir la velocidad por la longitud de onda.  Entonces para la luz tendríamos:

Frecuencia = 300.000 km/s  ÷ 0,7 micrones

Frecuencia = 3×10 ̂8 ÷ 0,7×10 ̂-6 = ~4×10 ̂14

Este es un número muy grande, 4 seguido de 14 ceros de ciclos por segundo. Pero como todo descubrimiento científico nos conduce a formular más preguntas. Si la luz no es otra cosa que ondas electromagnéticas  de altísima frecuencia debería existir también ondas electromagnéticas que se comportara como la luz pero de frecuencias mucho más bajas.  Es más, como sabemos que las ondas están conformadas por campos eléctrico y magnético oscilantes, debería ser posible generar ondas.

Estas dos preguntas motivo a los físicos después de las propuestas delas ecuaciones  Maxwell a partir de 1861.

El reto de encontrar o generar ondas electromagnéticas fuera de la luz fue exitoso por parte del científico Alemán Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894). Utilizando alambres curvados como un circulo con una pequeña separación de milímetros en sus extremos y que llamo resonador, encontró que cuando se producía una chispa eléctrica en el laboratorio una pequeña chispa también se producía entre la pequeña separación de los alambres de su resonador.  Sus experimentos le permitieron demostrar que una chispa eléctrica produce ondas electromagnéticas que eran captadas por el alambre del resonador que inducia una corriente eléctrica que producía la chispa en la pequeña separación.  Pudo demostrar que eran ondas electromagnéticas que se propagaban a 300.000 km/s y pudo medirle la frecuencia con lo cual comprobaba que las predicciones de las ecuaciones de Maxwell eran correctas.

Rudolf Hertz murió relativamente joven, 37 años, y su interés fue demostrar que las formulaciones teóricas de Maxwell eran correctas y quizás nunca se imaginó que estaba abriendo las puertas a un fenómeno de la naturaleza con más aplicaciones prácticas que ha transformado al mundo y la forma de entender al mundo. Estoy hablando de la “Radio” y en su honor la frecuencia de las ondas de radio se mide en Hertz que tiene el mismo significado que ciclo por segundo. Por tanto ahora en nuestro lenguaje usamos términos como kilohertzio, Mega Hertz, Giga Hertz.

El hecho que una chispa eléctrica genere ondas electromagnéticas o de radio es bien conocido actualmente. Cuando se produce un rayo en la atmosfera y nosotros tenemos un radio encendido podemos observar un ruido o interferencia en el radio justo cuando el rayo se produce. Cuando usamos algún electrodoméstico que utiliza motor eléctrico, con el tiempo los contactos del motor se deterioran y empieza a producir arcos eléctricos  dentro del motor comúnmente conocido como chisporroteo. Estos chisporroteos causan generación de ondas de radiofrecuencia que ocasionan interferencia en el radio receptor.

Rudolf Hertz genero ondas de radio produciendo chispas eléctricas. El elemento que emite ondas de radio lo conocemos ahora como un “transmisor”. Para detectar las ondas, Hertz utiliso un anillo de alambre con una pequeña separación en sus estremos, el lo llamo resonador, actualmente lo llamaríamos el “receptor”.

Los descubrimientos de Maxwell y Hertz nos permitieron entender las ondas electromagnéticas de frecuencia menores que la luz que actualmente conocemos como ondas de radio. Científicos e ingenieros posteriores a Maxwell y Hertz vieron la posibilidad de utilizar la acción a distancia de las ondas electromagnéticas para transferir información  creando entonces una industria de transmitir información a distancia conocido ahora como “Telecomunicaciones”.

 

 

 

 

 

 

Amplificadores

La amplificación es una de las funciones más usada en electrónica. El invento del tubo electrónico y mas tarde del transistor fue motivado para tener un dispositivo que amplificara señales electrónicas.

En general todo dispositivo electrónico se comporta como una “caja negra” con terminales de entrada y salida. A la entrada le entregamos una señal , que no es otra cosa que una potencia variable en el tiempo. Si a la salida del dispositivo tenemos otra señal que varía con el tiempo similar a la entrada pero con una potencia superior a la de la entrada, entonces estamos usando un dispositivo que es un amplificador.

La relación entre entre la potencia de salida dividido por la potencia de entrada se llama ganancia o factor de amplificación del dispositivo. Si la relación es 1 entonces la potencia de entrada y salida son iguales y en realidad no hay ganancia. So la relación es mayor de 1, entonces tenemos amplificación. Si la relación es menor de 1, entonces la salida es una fracción de la entrada y tenemos un atenuador en vez de un amplificador.

Como la ganancia o factor de amplificación es una relación entonces la podemos expresar en decibelios. Si la amplificación es 1, la expresión en decibelios es 0 db.  Si la amplificación es 10:1 la expresión es 10 db, si la relación es el doble el valor será 3 db.

Si en vez de amplificación tenemos atenuación entonces el factor de amplificación es menor de 1 y expresados en decibelios son valores negativos. Un valor de -3 db significa un atenuador de 1:2, -10 db tendría una atenuación de 1/10.

En un amplificador la potencia de salida debe variar en el tiempo exactamente igual a las variaciones de la información de entrada.  Si la salida es exactamente igual a la entrada entonces decimos queel amplificador es muy “fiel” o es un amplificador de alta fidelidad.  Si el amplificador modifica la forma de onda de la salida entonces decimos que el amplificador “tiene” distorsión”.

Los dos factores importantes para evaluar un amplificador son la “ganancia” y la “distorsión”.

Una área de uso de amplificadores en los amplificadores de audio en donde pequeñas señales de audio captados por un micrófono es amplificada lo suficiente para mover el cono de un parlante para que una multitud de personas lo puedan escuchar.

Otro amplificador muy conocido por los radioaficionados son los amplificadores de radiofrecuencias usados para tomar las pequeñísimas oscilaciones de un circuito resonante o un cristal y amplificarlos a niveles de vatios o kilovatios y alimentar una antena que emitirá ondas electromagnéticas capaces de llegar a miles de kilómetro desde donde se emite.

En el análisis de un circuito amplificador se considera que la señal tiene forma sinusoidal que se repite a una frecuencia determinada. La señal sinusoidal se considera que tiene un ciclo de 360 grados que se repite a la frecuencia que estamos trabajando.

Si un amplificador utiliza un solo elemento activo como son los tubos o transistores para amplificar durante los 360° del ciclo entonces decimos que el amplificador es de “clase A”.

Una señal sinusoidal está constituida de un ciclo positivo y otro negativo completamente simétrico. El ciclo positivo o negativo dura la mitad de un ciclo completo de 360°, entonces el positivo o el negativo dura 180°.

Si en vez de usar un solo elemento para amplificar usamos dos,  en el cual uno amplifica el ciclo positivo y el otro el ciclo negativo, vamos a tener un amplificador que nos dará el doble de potencia que un solo dispositivo activo.

En este caso el componente activo solo trabaja en la mitad del ciclo, es decir 180° y se denominan amplificadores “clase B” en oposición a los “clase A” que trabajan todo el ciclo.

Los amplificadores “clase B” los dos tubos o transistores se monta en circuitos simétricos pero opuestos llamados comúnmente “circuitos Push-Pull” del inglés Push, Pull que significa algo asi como Empuje-Jale en forma metafórica.

Algunos amplificadores se diseñan para operar en ciclos de trabajo que están entre los 360° de la clase A y los 180° de la clase B y son conocidos como amplificadores “clase AB”. La “clase AB” requiere el uso de dos tubos o transistores en montaje Push-Pull como los clases B, su rendimiento en amplificación es menor que la “clase B” pero se consigue mejor fidelidad que la clase B.

Cuando usamos un amplificador para frecuencia de radio, el elemento amplificador entrega su energía a un circuito resonante compuesto de una bobina y un condensador. Un circuito LC puede mantener una oscilación sinusoidal a la frecuencia de resonancia . En este caso el elemento amplificador solo necesita entregar pequeños impulsos de energía, al elemento LC, en forma sincrónica para mantener la oscilación.

En estas condiciones podemos hacer un amplificador clas B o AB de un solo elemento (tubo o transistor) con la condición que entreguemos la energía a un circuito LC  que tenga su resonancia igual a la frecuencia que esta operando el amplificador.

Para amplificadores de radiofrecuencia es posible tener otra clase de amplificadores que funcionan en ciclos de menos de 180 ° y  se conocen como amplificadores “clase C”.  Los amplificadores “clase C” son muy eficientes ya que solo trabajan en una pequeña parte del ciclo donde podemos forzar al tubo o transistor de liberar mucha energía pero como no trabaja en la mayor parte del ciclo su disipación media puede ser más baja.

Los amplificadores “clase C” solo pueden trabajar en una frecuencia que corresponde a la frecuencia de resonancia del circuito LC, esto los hacen inapropiados para trabajar como amplificadores de audio en los cuales se requiere que la amplificación cubra un rango grande de frecuencia. Un amplificador de audio debe trabajar independiente de la frecuencia en un rango de 30 Hz a 3 kHz para amplificadores de voz o hasta 20 kHz y superior en caso de amplificadores de alta fidelidad.

 

 

Interconexion HF, VHF y Echolink, Adendo 1

Complementando la informacion sobre la interconexion de equipos HF, VHF y Echolink explico como se activa en transmisión los equipos y como la señal de voz se envia a cada uno de los equipos que intervienen.

Cuando uno de los equipos tiene una señal de voz debe activar en transmisión los otros dos equipos, por lo tanto tenemos tres casos posibles dependiendo de que equipo esta recibiendo señal de voz ya sea Echolink, VHF o HF.  Para que un equipo transmita se requiere poner a potencial de tierra su terminal llamado PTT. En el caso de Echolink, donde un PC maneja su interconexion, no se dispone de terminal PTT si no que el PC cuando detecta señal de audio pasa a modo de transmisión hacia la Internet.

Es de anotar que cuando ninguno de los tres equipos esta recibiendo señal de audio, todos los tres equipos permanecen en condición de recepción y ninguno esta transmitiendo.

CASO 1, Echolink recibe señal de audio, VHF y HF pasan a modo transmisión.

La figura muestra los caminos de activación y de sonido en caso que Echolink esta recibiendo señal de audio que necesita ser retransmitido por los otros dos medios. Cuando Echolink desea ser retransmitido lo informa poniendo una polaridad en el pin denominado RTS de un puerto serial predefinido. En el caso de PC tipo portátil o Laptop, el puerto serial (llamado COM) es virtual porque estos equipos no disponen de puertos seriales físicos.  En la implementacion  la información del puerto COM se toma de un puerto USB y a través de un dispositivo de adaptación se convierte en una conexión a tierra de un terminal.

En la figura superior se muestra, en color rojo, como la polaridad de tierra ocasionada en el PC se envía a los terminal marcados PTT de los equipos de VHF y HF. Los diodos estan puesto en el sentido de permitir pasar la señal a tierra. La información del PC da, también,  operación a un revelador que va ayudar en las conexiones de radio.

En la figura anterior, y en color verde, se marca el camino que va a seguir el sonido desde la salida de audio del pc (Phone) hasta los entrada de microfono del los equipos VHF y HF. Observe que el sonido al equipo de HF se realiza a travez del contacto del relevador que se encuentra operado.

CASO 2, VHF recibe señal de audio. Echolink y HF a modo transmision.

La figura muestra los caminos seguido para la activación de transmisión (en rojo) y el camino de audio en verde.

Cuando el VHF recibe señal de audio presenta una conexión a tierra de su terminal marcado Busy. Esta información activa directamente al equipo de HF para que pase a modo transmisión. Ya hemos comentado que el equipo de Echolink a través del PC pasa a transmisión si se recibe señal de audio en su micrófono,  La polaridad del diodo D1 es tal que evita que la polaridad a tierra se propague hacia adelante..El revelador no opera.

CASO 3, HF recibe señal de audio, Echolink y VHF a modo transmisor.

Cuando HF recibe una señal de audio esta se envia a travez de un filtro a un dispositivo que suministra un nivel de tierra en su terminal Busy. Esta polaridad activa directamente el PTT de VHF. (marcado en rojo).

La señal de audio se propaga como se muestra en color verde para llevar el sonido al VHF como al PC (Echolink).

 

 

 

 

 

Interconexion HF, VHF y Echolink

1- OBJETIVO

El presente artículo pretende estudiar y presentar soluciones a un proyecto de como poder enlazar redes de radioaficionados trabajando en HF, VHF(UHF) y Echolink para que operen simultáneamente en una sola conferencia.  La necesidad de este tipo de enlaces se observa en algunos servicios usados por los radioaficionados:

 

Asociaciones de radioaficionados mantienen programas divulgativos sobre aspectos técnicos, culturales y coordinación de actividades. El deseo de estos programas es llegar a la mayor cantidad de usuarios y si se programa en un solo modo, ejemplo HF, este es afectado por efecto de la propagación y su divulgación se frustra por malas condiciones.

Muchos radioaficionados , por razones prácticas, solo tienen equipos para una sola modalidad: HF, VHF o Echolink y se ven limitados a recibir información que utilice ese modo y no pueden recibir la información divulgada en los otros modos.

La figura 1  muestra como se puede implementar el proyecto.

En el centro dentro del circulo está el equipamiento necesario. Este consiste de un transceptor de VHF, otro para HF y un PC conectado a internet que opere como un terminal linck  (L) para el sistema Echolink.

El transceptor de VHF opera en una frecuencia de acceso a una repetidora de la zona de tal manera que lo que transmita este equipo se distribuye en una amplia área cubierta por esta repetidora. En la actual implementación se usa VHF en la banda de 2 metros  (144-148 Mhz).

El transceptor de HF (Onda Corta)  recibe y emite globalmente pero su alcance está determinado por las condiciones de propagación que depende de la ionización de las capas altas de la atmosfera que a su vez dependen del comportamiento del sol.

Por ultimo un un PC conectado a la red de Internet actúa como un terminal de Echolink en la modalidad de link (L) . A través de Echolink, operadores de cualquier parte del mundo con acceso a Internet pueden tener comunicación entre si usando PC o teléfonos celulares inteligentes usando la red de servicio publica celular.

Los tres componentes centrales, transceptores de HF y VHF y el PC con Echolink deben estar interconectados con un circuito con cierta lógica que determine automáticamente que equipo debe transmitir y que equipo permanece en recepción. En principio, durante la transmisión de una información,  uno solo de los tres puede estar en recepción y los otros dos en transmisión para reemitir la misma información que se está recibiendo.  Cuando no hay información a emitir entonces los tres  equipos permanecen en modo de escucha.

El estado de reposo del sistema es cuando los tres sistemas (HF, VHF, Echolink) están en modo de recepción. En un momento dado uno de los sistemas detecta que tiene información relevante (busy), entonces  usando el circuito de interconexión ordena a los otros dos equipos para que pasen a modo de transmisión (PTT) y el sonido recibido en el primer equipo debe enviarse a los otros dos que están en transición para que repitan la misma señal de audio que está siendo recibida con la mejor capacidad posible.

2- IMPLEMENTACION

El Colega y amigo HK3GBC Eberto Aguilar, la localidad de Girardot Cundinamarca  ha realizado una implementación práctica y completamente operativa de la interconexión entre HF, VHF y Echolink.

En la figura 2 se muestra los circuitos de como se ha realizado la interconexión.  El dibujo tiene algunas simplificaciones ya que su objeto es presentar en general como se logra la interconexión y no los detalles constructivos del mismo.  Para discusiones más detallas de los circuitos por favor contactar a su autor HK3GBC.

El PC es usado para manejar el Echolink en modo de Link (L). Cuando el sistema echolink desea le retrasmitan  su información  utiliza un puerto serial (puerto COM) poniendo polaridad en el pin marcado como RTS.  Los nuevos PC especialmente los de formato LapTop no tienen puerto físico serial denominados SR232. Para conseguir la funcionalidad de puerto serial se recurre a un dispositivo que simula el puerto COM a través de una conexión USB .  Al final del convertidor serie a USB es necesario usar un circuito adaptador que convierta la polaridad en el pin RTS al cierre de un contacto para usar como información PTT hacia el equipo de radio.

Los equipos de VHF normalmente marca en un terminal cuando hay recepción de información, esta señal normalmente esta marcad como “Busy”  (ocupado) pero en algunos radios pueden tener otro nombre. El umbral en que se decide si existe una transmisión está determinada por el control  Squelch del radio.

La información de ocupado es un tema un poco más complicado en HF. En VHF se utiliza modulación FM la cual mantiene una portadora durante todo el tiempo que está transmitiendo, pero en HF se utiliza modulación SSB la cual tiene la portadora suprimida.  En SSB solamente hay señal en el aire cuando el operador habla, pero durante los espacios entre palabras y por entonación la señal desaparece del aire.  Otro inconveniente en HF es que la relación entre señal y ruido cuando las señales son débiles son muy cercanos y es difícil distinguir si la señal recibida es realmente información o es ruido. En la presente solución se ha incluido a la salida de audio del receptor de HF un filtro para tratar de reducir el ruido para luego pasar a una unidad que detecta cuando hay señal relévate dentro del ruido para producir una marcación similar al Busy utilizado en el equipo  VHF.

Las señales de Busy del equipo VHF y HF se combinan con la señal proveniente del PC para dar operación a los terminales PTT. La combinación se realiza usando 3 diodos para conformar la lógica necesaria  para la correcta operación de los equipos. Cuando la operación proviene del PC también se da operación a un relevador para provocar una correcta conexión de audio.

Las señales de audio de los tres equipos (señal saliente y entrante) se combinan usando 5 resistencias de 10 Kohms para permitir que los canales de audio tenga su correcta conexión de acuerdo a la configuración del momento. Un contacto del relevador cierra conexión en la parte de audio para la operación cuando la señal es recibida en PC y retrasmitida simultáneamente por VHF Y HF.

 

La Trigonométrica y la Electrónica Capitulo 1

 

 

Siempre me ha fascinado como la trigonometría que es una rama de la matemática, aparentemente desarrollada para entender figuras geométricas, ha sido usada para explicar y desarrollar a la electrónica.

Los griegos desarrollaron la “Geometría” que es la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, Todo su conocimiento fuero descritos en un libro llamado “Elementos” por Euclides en el siglo III ac. Este libro está escrito en una forma ordenada y lógica que aun hoy en día se sigue enseñando Geometría con el mismo libro y se conoce como Geometría Euclidiana.

La Geometría Euclidiana parte de 5 postulados que son declaraciones que no tienen una demostración lógica, a partir de estos postulados se desarrolla una serie de deducciones  conocidos como axiomas y que permiten solucionar encontrar afirmaciones llamadas teoremas que tienen aplicación práctica.

Los 5 postulados de Euclides y sobre los cuales se basa su geometría son:

  1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.
  2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Los 4 primeros parecen obvios pero el quinto no tanto. Para mejor comprensión modernamente lo describen como “Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela”.  Matemáticos modernos han desarrollado nuevos tratados de Geometría basadas en no aceptar este quinto postulado y son conocidas como Geometrías no Euclidianas que han permitido comprender conceptos físicos más avanzados como la teoría de la Relatividad y posteriores.  Pero en la vida ordinaria, en nuestro entorno físico, en trabajos de ingeniería y aplicaciones prácticas se sigue usando la Geometría Euclidiana.

Ya en el cuarto postulado se hace referencia al ángulo recto, por nosotros conocidos como ángulo de 90 grados y en el quinto se refiere a líneas paralelas si el ángulo entre si es de dos rectos. En la versión moderna de este postulado se refiere que a un punto exterior a una recta solo se puede bajar una perpendicular, es decir una línea que forma con la primera línea un ángulo de 90 grados, es decir un ángulo recto. Cuando dos líneas se cruzan se dice que son “ortogonales”, entonces tenemos tres conceptos que se refieren a lo mismo: ángulo recto, perpendicular y ortogonal.

La geometría Euclidiana invierte gran parte de su contenido al estudio de los triángulos ya que es la más sencilla de las figuras geométricas y las conclusiones sobre triángulos se pueden aplicar a figuras más complicadas porque estas pueden ser reducidas a figuras con muchos triángulos. Hay algunas conclusiones sobre los triángulos que tiene importancia en el desarrollo posterior del conocimiento como la afirmación que los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180 grados  y que dos triángulos que tengan ángulos iguales son proporcionales.

Pero entre todos los triángulos posibles hay un tipo que toma relativa importancia y es el triángulo en que uno de su ángulo es de 90 grados, es decir tiene un ángulo recto y por tanto son conocidos como “triángulo recto”. El momento cumbre del libro Elementos es un teorema conocido como “Teorema de Pitágoras” del cual haremos referencia más adelante.

Es tan importante el estudio de los triángulos en la Geometría Euclidiana que se desarrolló otra ciencia derivada de la Geometría y que se dedica al estudio de los triángulos basado en sus mediciones por lo cual esta ciencia recibe el nombre de “Trigonometría” del griego “Trigonos” triángulo y “metria” medida.

En Trigonometría también el triángulo recto tiene relativa importancia, por lo cual podemos hacer alguna aclaración de términos referidos a un triángulo recto:

Por definición un “Triangulo Recto” uno de sus tres ángulos tiene 90 grados, es decir es un ángulo recto. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman “Catetos” y el tercer lado que esta opuesto al ángulo recto se llama “Hipotenusa”.

Los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180 grados, en el triángulo rectángulo uno de ellos es de 90 grados por lo cual los otros dos deben sumar 90 grados. Si nosotros nos localizamos en un vértice del triángulo diferente al recto y medimos su ángulo, automáticamente conocemos el valor del otro ángulo pero el ángulo opuesto seria lo que le falta a nuestro ángulo para ser 90 grados, es decir su complemento a 90 grados.

El ángulo recto lo forman los dos catetos, los otros dos ángulos lo forma la hipotenusa con un cateto. Considerando un ángulo, el cateto que lo forma se conoce como “Cateto Adyacente” y el otro cateto como esta en el lado contrario al ángulo se conoce como “Cateto Opuesto”.

Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo diferente al recto de igual medida entonces sus tres ángulos son iguales y son “semejantes” y sus medidas de sus lados son proporcionales. Esto quiere decir que si un triángulo semejante tiene un lado de longitud mayor (o menor) en una proporción sus otros dos lados son igualmente mayores (o menores) en la misma proporción. En el caso de los triángulos rectos basta con que un ángulo (no recto) sea igual para todos los triángulos con igual ángulo sean proporcionales entere sí.  En la practica la Trigonometría se dedica a conocer los factores de proporcionalidad para diferentes valores de ángulos y así poder predecir longitudes de otros triángulos.

Si analizamos un triángulo rectángulo desde uno de sus vértices diferente al recto y a ese ángulo lo llamaos ángulo A entonces un cateto será el adyacente, el otro cateto será el opuesto y el tercer lado será la hipotenusa. Se puede observar que la hipotenusa siempre tendrá una longitud mayor que los catetos.

Por definición tenemos tres proporciones (resultados de divisiones). La división del cateto opuesto por la hipotenusa se llama “Seno”, la división del cateto adyacente por la hipotenusa se llama “Coseno” y la división del cateto opuesto por el cateto adyacente se denomina “Tangente”.  Resumiendo:

Seno = Cateto opuesto / Hipotenuza

Coseno = Cateto adyacente / Hipotenuza

Tangente = Cateto opuesto / Cateto adyacente

Estas son las tres importantes definiciones, hay otras mas como son Cotangente, Secante y Cosecante que son complementarias y que en este corta explicación no nos extenderemos en ellas.

Pueden ver que la Tangente podría deducirse como:

Tangente = Seno / Coseno

Lo que constituye una de las primeras “identidades trigonométricas” que ayudan a la resolución de problemas en trigonometría.

Para el valor de un ángulo dado, las relaciones Seno, Coseno y Tangente son valores constantes. Si conocemos el valor de un ángulo y la longitud de un solo de los lados del triángulo rectángulo, usando los valores de Seno, Coseno o tangente podemos calcular la longitud de los otros dos lados del triángulo.

Desde la antigüedad se han hecho cálculos de las relaciones trigonométricas seno, coseno, tangente para diferentes ángulos y sus resultados  han sido publicados en  libro con los valores tabulados conocido como “tablas trigonométricas”

Esta facilidad de poder calcular las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo conociendo el ángulo y uno de sus lados ha sido el gran poder de la trigonometría para hacer cálculos de longitudes sin tener que hacerlas físicamente.

Bien, ¿pero para qué sirve la Trigonometría? En un principio se uso para hacer medidas de distancias como veremos en dos ejemplos prácticos.

1- Medir la altura de un árbol.

Me separo del árbol una distancia prudencial y conocida, digamos 10 metros, ahora usando un transportador u otro instrumento que me permita medir el ángulo con que yo observo la punta del árbol. En este momento tenemos un triángulo recto en donde el cateto adyacente es la separación a que me encuentro del árbol, el cateto opuesto es la vertical del árbol, la hipotenusa seria la línea imaginaria que une mi ojo con la punta del árbol, en la práctica no estoy interesado en saber cuál es la hipotenusa. Nuestro problema es conocer la longitud del cateto opuesto y para ello conocemos el ángulo y la longitud del cateto adyacente, entonces podemos usar el concepto de Tangente = Cateto opuesto/Cateto adyacente, por lo cual

Cateto opuesto = Tangente * Cateto adyacente.

Lo único que necesitamos conocer es el valor de la Tangente para el ángulo que estamos trabajando y entonces calculamos el cateto opuesto que no es otra cosa sino la altura del árbol.

Actualmente hay aplicaciones en los teléfonos celulares (Smart phones) en los cuales el árbol se observa a través de la cámara, el teléfono analizando la foto encuentra el tope del árbol y como el conoce las características de la cámara puede determinar el ángulo con que se observa el árbol, ahora bien si le decimos a que distancia del árbol nos encontramos, entonces aplica la Tangente podemos calcular la altura en un clic.

Es más, como generalmente tenemos la cámara alguna distancia del piso, entonces la cámara puede deducir  el ángulo entre la horizontal y la base del árbol y la existencia de otro triangulo rectángulo en la cual el cateto opuesto es la altura de la cámara y podemos calcular el cateto adyacente que sería la distancia que la cámara está alejada del árbol.  Esta separación es la que necesitamos luego para calcular la altura del árbol.

De esta manera un teléfono celular puede medir la altura de cualquier objeto observándola con la cámara, en forma automática, lo único que necesitamos es estar alejados del objeto y observarlo por la cámara, el único parámetro que debemos informarle es a que altura del suelo se encuentra la cámara que no es otra cosa sino la estatura del fotógrafo menos algunos centímetros  que depende de donde sostengo la cámara.

2 Venus

En el año 1543 Nicolás Copérnico público su libro “Revolución de las Orbitas Celestes” donde exponía su teoría que los planetas incluida la Tierra giraban alrededor del Sol en lo que se conoce como “Teoría Heliocéntrica” contrario a las creencias religiosas de la época. Esto causo gran controversia y oposición de la Iglesia y el libro fue prohibido. El tema filosófico de que la tierra se movía era el problema pero si se admite el modelo heliocéntrico entonces resulta sencillo de explicar los movimientos de los planetas pero algo importante era que podíamos calcular las distancias de los planetas y predecir sus movimientos, entonces el estudio de los astros se convirtió en una ciencia de medición y de hay nace la Astronomía.

Un ejemplo de medir distancias contenido en el libro de Copérnico es el caso de Venus y uso de la trigonometría. Venus es visible como una estrella muy brillante (un lucero) en las mañanas o las tardes antes o después de la salida o ocultación del Sol. Por esta razón es considerado un planeta que orbita alrededor del sol entre la tierra y el Sol.

Venus aparece como lucero de la mañana muy cerca al Sol, con el paso de los días se va alejando angularmente del Sol hasta llegar a un máximo, luego enpieza a devolverse hacia el Sol hasta que desaparece por su cercanía al Sol y pocos días después aparece como lucero de la tarde y continua alejándose del Sol hasta un máximo  para luego regresar al Sol y volver a ser lucero de la mañana. Este ciclo se repite constantemente con un periodo de 560 días.

Si suponemos que Venus gira alrededor del Sol entonces el momento de máxima separación angular de Venus se presenta cuando la visual desde la Tierra a Venus es tangencial a la orbita de Venus y ese ángulo puede ser medido y es de unos 45 grados. Como la visual es tangencial entonces forma un angulo recto con relación al radio de la orbita de Venus por lo tanto tenemos un triangulo rectángulo con vértices en Tierra, Venus, Sol,  donde un cateto es el radio y el otro cateto es la distancia Tierra Venus, la hipotenusa es la distancia Tierra Sol.

La distancia Tierra Sol es considerada como una unidad de referencia para hacer mediciones y se conoce como UA (Unidad Astronómica). La UA es la hipotenusa, y como conocemos el ángulo, la distancia Sol Venus seria el cateto opuesto y puede ser calculado usando el valor del Seno del ángulo.

Seno = Cateto opuesto / Hipotenusa = (Distancia Venus Sol) / UA

Por tanto

(Distancia Venus Sol) = (Seno 45°) * UA

El Seno de 45° es aproximadamente = 0,7 por tanto Venus orbita al Sol  a 0,7 veces la distancia Tierra Sol.

Copérnico, siguiendo métodos similares pudo calcular las orbitas de los 5 planetas conocidos: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno   Esas medidas están consignadas en su libro con una precisión increíble para la época que fueron hechas. Después de esto la Astronomía permitía hacer cálculos más y más avanzados que años después le permitieron a Kepler encontrar leyes que gobernaban el movimiento de los astros y después Newton los resumio en las leyes de la gravedad.

 

 

Escala Pitagorica

Un tardío interés por la música me ha llevado a investigar por qué se utilizan las notas musicales Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si y cual es su significado. En mi trabajo como ingeniero Electrónico siempre me he interesado por las ondas, su frecuencia, su longitud de onda y las matemáticas asociadas a estos conceptos, entonces voy a tratar de describir como un ingeniero que se aproxima al conocimiento de la música, quizás use un poco las matemáticas pero esto no es extraño ya que los Griegos considerabas la música y las matemáticas como un todo.

Una guitarra esta compuesta por 6 cuerdas unidas en sus extremos, si pulsamos una cuerda esta emite un sonido. Un músico dice que ha emitido una nota pero un físico dirá que se ha generado un sonido de una frecuencia determinada, la frecuencia es el número de vibraciones por segundo que produce la cuerda. El número de ciclos o vibraciones por segundo de la frecuencia se mide en Hertz en honor a un físico Alemán del siglo 19 que investigo las ondas electromagnéticas que dieron origen a la radio.

La guitarra tiene un “traste” donde el intérprete usando los dedos de la mano izquierda (los guitarristas zurdo usan la derecha) pisan las cuerdas para acortar la longitud de ella y producir un sonido mas agudo, los músicos dirán también que dan una nota mas alta. Empezamos a tener una relación inversa, a medida que reducimos la longitud de la cuerda la nota se vuelve mas alta y los contrario al aumentar la longitud de la cuerda la nota es mas baja. Esto que decimos para una cuerda es cierto para todos los instrumentos que utilizan cuerdas para producir sonido y es igualmente cierto para los instrumentos que generan sonido por el paso del aire por un tubo, a medida que acortemos la longitud del tubo tendremos notas más altas.

En física se puede explicar el fenómeno, un cuerda de longitud corta, al tener menor longitud oscilara  más rápido que una más larga por lo que su frecuencia de oscilación, medida en ciclos por segundo o Hertz, aumenta a medida que se acorta su longitud. Entonces la altura de la nota para los músicos es la mayor o menor frecuencia que tenga el sonido.

La música, después de siglos de evolución, ha llegado a un acuerdo de emitir un número determinado de posibles notas que corresponden a frecuencias  muy estandarizadas independiente del instrumento que se utilice. Si todos los músicos  emiten las notas en la misma frecuencia el sonido total resulta armónico, suena bien, en cambio sí tocan con diferente frecuencia el resultado es un sonido desordenado, disonante  y desagradable al oído.

Actualmente hay un acuerdo para la música de cultura occidental de usar para la nota “LA” (recordemos el pentagrama do, re, mi, fa, sol, LA, si do) una frecuencia de 440 Hertz. Todas las notas tiene siempre una relación fija entre ellas por lo cual fijando 440 Hz para LA automáticamente todas las demás notas tienen una frecuencia muy exacta.

Cuál es la relación entre las diferentes notas, porque usamos 7 (do, re, mi, fa, sol, la, si) y cuáles serán su frecuencia es el siguiente tema.

En la antigua Grecia (siglo VI AC) surgió una escuela llamada Pitagórica con una filosofía basada en la Matemática y el misticismo preocupados por la armonía del mundo y creían que la belleza y la verdad estaba en las proporciones.  Proporciones son la relación matemática que relaciona dos cosas, ejemplo una cosa es doble de otra, o es la mitad, en general una es a la otra en una proporción. Para los Pitagóricos la armonía y belleza de las cosas estaba en que las proporciones fueran expresadas como la relación de números enteros, mientras más pequeño fueran los números que indicaba la proporción más bella y armónica era. El doble es una proporción 2 a 1, la mitad es ½, el triple 3 o una relación 3/2 son armónicas, en cambio una proporción expresada con números grandes 234/568 no sería armónica.

Precisamente la música le dio bases para sustentar el tema de las proporciones y esas teorías desarrolladas por los Pitagóricos y luego por diferentes músicos a través de los tiempos se ha logrado un desarrollo musical para lograr que en la música se tengan sonidos armónicos que son bellos y agradables al oído.

Los Pitagóricos usaron el sonido producido por una cuerda para sus análisis musicales. Observaron que si tocaban la cuerda de una longitud dada y luego tocaban la cuerda a la mitad (1/2) de su longitud los dos sonidos resultaban agradables al oído, es más se oía como un solo sonido armónico, en cambio si tocaban la cuerda completa y luego con otra longitud diferente de la mitad la longitud los dos sonidos resultaban disonantes y no agradable al oído. La física puede dar una explicación del fenómeno y lo dejaremos para otro artículo.

También observaron que si emitían sonido con una cuerda a la mitad de la mitad el sonido volvía a ser armónico (1/4 de la longitud original) lo cual parece lógico porque ¼ es la mitad de ½. Lo importante es que la armonía no estaba en la longitud original de la cuerda, ni del tipo de material sino que estaba en la relación. Si la relación era de 1 a 2 (1/2) los sonidos son armónicos.

Habíamos comentado antes que una cuerda al vibrar produce un sonido en una frecuencia y que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda, entonces si acortamos la cuerda lo que logramos es una frecuencia mayor.  Si una cuerda vibra a una frecuencia F (en Hertz o ciclos por segundo) si acortamos su longitud a la mitad entonces su frecuencia será el doble. Los músicos prefieren hablar de “altura” en vez de frecuencia, entonces si la cuerda tiene una altura A al acortar su longitud a la mitad se tiene el doble de altura.

Entonces los sonidos resultan armónicos si están en una relación de 1 a 2 es decir en el doble. Si nuestra referencia (1) es una frecuencia F, los sonidos  2F, 4F, 8F,… etc serán armónicos. En música no se habla de frecuencia se habla de altura entonces una frecuencia doble tiene el doble de altura y la diferencia de altura la llaman una “Octava” (porque se considera que hay 8 notas entre una frecuencia y su doble pero eso lo veremos luego).

Entonces si tenemos la anotación de frecuencia en una línea tendremos:

 

Frecuencia 0—-1—-2—-3—-4—-5—-6—-7—-8—-9—-10-

Octavas         <  1 ><—2—-><——–3———><——–4—

Entonces hemos construido una escala en que cada sonido (nota) se emite con el doble de la frecuencia de referencia es decir 1, 2 , 4, 8, 16, 32, etc. En música esta seria una escala de octavas.

Hacer música con una sola nota resultaría aburrido, muy pobre, necesitamos otras notas para enriquecer de sonidos. Esto es posible si unamos una proporción diferente de 2  y que sea un número bajito para cumplir con el concepto de armonía que introdujeron los Pitagóricos.

Si observamos en la mitad de la segunda octava (2 a 4 veces la frecuencia de referencia) esta el numero 3 entonces podríamos construir una escala proporcional a 3 en vez de 2.  La frecuencia 3F esta en la mitad de la segunda octava, esta nota también puede existir en la primera octava y ocuparía la posición 3/2 y todo cuadra matemáticamente: la frecuencia 3/2 su doble será 3 y el doble de 3 sera 6, etc.  Entonces la nota con relación 3/2 en la primera octava será la frecuencia 3 en la segunda octava y su proporción dentro de la segunda octava será también 3/2. En la tercera octava será la frecuencia 6F, como la referencia de la tercera octava es 4 su proporción relativa seria 6/4 = 3/2 y asi sucesivamente.

Adelantandonos a los nombres diremos que la frecuencia de referencia la llamaremos DO y la que esta en relación 3/2 la llamaremos SOL.

Ahora tenemos dos notas posibles en la octava, la referencia y la proporción 3/2. Entonces podemos genera nuevas notas si duplicamos la frecuencia (octavas) o triplicamos la frecuencia:

Octavas –duplicamos la frecuencia-  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc

“—“    – triplicamos la frecuencia –  1, 3, 9, 27, 81, 127, etc

La distancia que hay cuando triplicamos se llama “Quinta” difícil de entender en esta parte de la explicación pero que tiene su lógica como se podrá ver mas adelante. Las quintas comienzan en las frecuencias F, 3F, 9F, 27F, etc.  3F corresponde a la relación 3/2 dentro de la octava.

Frecuencia 0—-1—-2—-3—-4—-5—-6—-7—-8—-9—-10-

Octavas         <  1 ><—2—-><——–3———><——–4—

Quintas         <—–1—><————–2————-><—3-

Si a la frecuencia 3F la triplicamos tendremos la frecuencia 9F que pertenece a la 4 octava  que comienza en 8F. 9F en la cuarta octava esta en la relación 9/8 lo cual seria nuestra relación también en nuestra primera octava.

Ahora tenemos 3 notas con las siguientes relaciones 1,  3/2 y 9/8.  A la relación 9/8 la llamaremos RE. Actualmente estamos más acostumbrados a escribir las relaciones como decimales, entonces tenemos:

1             =             1             DO

3/2         =             1,5          RE

9/8         =             1.125     SOL

La siguiente quinta seria el triple de 9F es decir 9 x 3 = 27F que estaría en la quita octava que empieza en 16F por lo tanto su relación dentro de la octava seria 27/16. A esta nueva nota la llamaremos LA.

Como podemos notar, podemos generar nuevas notas que siempre estarán en una relación :

3n /2m

Donde n es el orden de la quinta y m es el orden de la octava. La relación debe ser siempre un valor mayor que 1 y menor de 2 que corresponde a una octava.

La nota LA corresponde a n = 3 y m = 4correspondiente al orden de la tercera quinta.

En la práctica se posible buscar notas hasta el orden 12 dando la siguiente relación:

Orden                  n                             m                           relación               Nota

1                             0                             0                             1                             DO

2                             1                             1                             1,5                         SOL

3                             2                             3                             1.125                     RE

4                             3                             4                             1,6875                  LA

5                             4                             6                             1,265625              MI

6                             5                             7                             1,8984375           SI

7                             6                             9                             1,423828125       FA#

8                             7                             11                           1,0805335           DO#

9                             8                             12                           1,6018066           SOL#

10                           9                             14                           1,20135498         RE#

11                           10                           15                           1,8020324           LA#

12                           11                           17                           1,35152435         FA

Podríamos calcular la relación para el orden 12 es decir n = 12 y m = 19 lo que nos da una relación de 1,01364 lo cual es un valor muy pero muy cercano a 1. Como estas relaciones se usan para generar frecuencias es técnicamente difícil construir un instrumento musical que produjera una nota de referencia y otra nota 1,013 (1,3 %) mayor. Lo mismo pasa con el oído que difícilmente descubre que hay una ligerísima diferencia de frecuencia. Por esta razón la construcción de la escala de notas se limitan a solo 12.

Esta escala musical de 12 notas compatible con octavas y quintas se conoce como escala Pitagórica y eran las notas usadas en la antigüedad hasta el siglo 18.

En la escala Pitagórica podemos notar ciertas características:

Del grado 1 al 6 se crearon 6 notas que conocemos como las notas naturales: DO, RE, MI, SOL, LA, SI. Del grado 7 al 11 tenemos lo que se llaman notas alteradas por un sostenido (#), la excepción es FA que está en el grado 12.

Si suponemos el orden de las notas naturales como DO, RE, MI, FA, SO, LA SI, DO se puede ver que el primer orden es DO, el segundo ordes en SOL entonces:

Orden                  NOTAS

1                             DO

2                             DO         RE           MI          FA          SOL

3                             SOL        LA           SI            DO         RE

4                             RE           MI          FA          SOL        LA

5                             LA           SI            DO         RE           MI

6                             MI          FA          SOL        LA           SI

Entonces cada vez que subimos de orden la nota natural cambia 5 posiciones por eso el avance en el orden de tres se llama por “quintas”, cuando avanzamos en orden de 2  avanzamos 8 notas y entonces lo llamaos “octavas”.

 

Los valores de relación parecen arbitrarias, si ordenamos las relaciones de menor a mayor tendremos la tabla de esta manera:

Relación                              Nota                                     Orden

1                                             DO                                         1

1,0805335                           DO#                                      8

1,125                                    RE                                          3

1,20135498                         RE#                                       10

1,265625                             MI                                         5

1,35152435                         FA                                          12

1,423828125                      FA#                                       7

1,5                                         SOL                                       2

1,6018066                           SOL#                                     9

1,6875                                  LA                                          4

1,8020324                           LA#                                       11

1,8984375                           SI                                           6

Ahora si vemos el orden de las notas tal como lo conocemos. Lo anterior corresponde a la llamada “Escala Pitagórica” deducida del uso de Octavas y Quintas usando calculaos matemáticos. Su idea viene de la escuela Pitagórica del siglo VI AC y fue usada para producir música hasta el siglo XVII. Aunque la escala es lógicamente perfecta  en la practica de construir instrumentos e interpretarlos presentan algunas dificultades  en su uso. Estas dificultades motivo a muchos músicos a la búsqueda de soluciones y en el siglo XVIII , especialmente a la influencia de Johan Sebastián Bach la escala pitagórica fue modifica a algo que ahora se llama “escala temperada” que es la extensamente usada actualmente.

Estos cambios serán el tema de nuestro siguiente artículo.